Задача 1
Условие (кратко)
Пересекаются ли окружность \(x^2 + y^2 = 9\) и гипербола \(xy = -3\)? Если да, сколько общих точек они имеют?
Решение
Гипербола \(xy = -3\) лежит во II и IV четвертях; её точки \((-\sqrt{3};\ \sqrt{3})\) и \((\sqrt{3};\ -\sqrt{3})\) находятся на расстоянии \(\sqrt{6} < 3\) от начала, то есть внутри круга, а ветви уходят на бесконечность. Каждая ветвь пересекает окружность дважды.
Аналитически: сложим первое уравнение с удвоенным вторым и вычтем: \((x + y)^2 = 3\), \((x - y)^2 = 15\). Получаем \(x + y = \pm\sqrt{3}\), \(x - y = \pm\sqrt{15}\) — четыре линейные системы, четыре решения.
Ответ
Да, в четырёх точках
Почему так
Число общих точек графиков равно числу решений системы.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».