Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 405 к § 20

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сколько общих точек имеют окружность и прямая $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = 2x + 3? \end{cases}$

Решение

Подставим: $$x^2 + (2x + 3)^2 = 9$$ , $$5x^2 + 12x = 0$$ , $$x = 0$$ или $$x = -2{,}4$$ — два корня.

Точки $(0;\ 3)$ и $(-2{,}4;\ -1{,}8)$ .

Ответ

Две

Почему так

Число общих точек прямой и окружности равно числу корней квадратного уравнения после подстановки.

Условие (кратко)

б) Сколько общих точек имеют окружность и прямая $\begin{cases} x^2 + y^2 = 7, \\ y - 4x = 2? \end{cases}$

Решение

$$y = 4x + 2$$ , поэтому $$x^2 + (4x + 2)^2 = 7$$ , $$17x^2 + 16x - 3 = 0$$ , $$D = 256 + 204 = 460 > 0$$ — два корня.

Ответ

Две

Почему так

Положительный дискриминант — две общие точки.

Условие (кратко)

в) Сколько общих точек имеют окружность и прямая $\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ y + 4x = -5? \end{cases}$

Решение

$$y = -4x - 5$$ , поэтому $$x^2 + (4x + 5)^2 = 5$$ , $$17x^2 + 40x + 20 = 0$$ , $$D = 1600 - 1360 = 240 > 0$$ — два корня.

Ответ

Две

Почему так

Положительный дискриминант — две общие точки.