Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 20

Упражнение 406 к § 20

§ 20. Решение систем уравнений с двумя переменными · тема: Решение систем уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Укажите три значения c, при которых прямая $$y = c$$ и окружность $$x^2 + y^2 = 9$$ пересекаются.

Решение

Окружность с центром $(0;\ 0)$ и радиусом $$3$$ . Горизонтальная прямая $$y = c$$ пересекает её в двух точках, если $$|c| < 3$$ , то есть $$-3 < c < 3$$ : тогда $$x^2 = 9 - c^2 > 0$$ .

Например, $$c = 0$$ , $$c = 1$$ , $$c = 2$$ .

Ответ

Например, c = 0; 1; 2 (подходит любое c, у которого −3 < c < 3)

Почему так

Прямая y = c пересекает окружность радиуса r с центром в начале координат при |c| < r.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Укажите три значения c, при которых прямая $$y = c$$ и окружность $$x^2 + y^2 = 9$$ не имеют общих точек.

Решение

Общих точек нет, если $$x^2 = 9 - c^2 < 0$$ , то есть $$|c| > 3$$ .

Например, $$c = 5$$ , $$c = 6$$ , $$c = 7$$ (или $$c = -4$$ и т. п.).

Ответ

Например, c = 5; 6; 7 (подходит любое c, у которого |c| > 3)

Почему так

При |c| > r прямая y = c проходит выше или ниже окружности.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

При каких значениях c прямая $$y = c$$ касается окружности $$x^2 + y^2 = 9$$ ?

Решение

Касание — ровно одна общая точка: $$x^2 = 9 - c^2 = 0$$ , $$c = 3$$ или $$c = -3$$ . Прямые проходят через верхнюю $(0;\ 3)$ и нижнюю $(0;\ -3)$ точки окружности.

Ответ

При c = −3 и c = 3

Почему так

Прямая касается окружности, когда расстояние до центра равно радиусу.

Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки