Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях a решением системы \(\begin{cases} x + y = a + 1, \\ 3x - y = a - 1 \end{cases}\) является пара положительных чисел?
Решение
Сложим уравнения: \(4x = 2a\), \(x = \dfrac{a}{2}\). Тогда \(y = a + 1 - \dfrac{a}{2} = \dfrac{a}{2} + 1\).
Нужно \(x > 0\) и \(y > 0\): \(\dfrac{a}{2} > 0\) даёт \(a > 0\); \(\dfrac{a}{2} + 1 > 0\) даёт \(a > -2\).
Оба условия выполняются при \(a > 0\).
Ответ
При a > 0
Почему так
Систему решают с параметром, затем требуют положительности x и y и решают систему неравенств.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».