Задача 1
Условие (кратко)
Докажите, что при \(a > -1\) выражение \(\left(\dfrac{a + 1}{a - 1} - \dfrac{a - 1}{a + 1}\right) : \dfrac{4a}{5a - 5}\) положительно при всех допустимых a.
Решение
Допустимые значения: \(a \ne 1\), \(a \ne -1\), \(a \ne 0\).
Разность в скобках: \(\dfrac{(a + 1)^2 - (a - 1)^2}{(a - 1)(a + 1)} = \dfrac{4a}{(a - 1)(a + 1)}\).
Деление на \(\dfrac{4a}{5(a - 1)}\): \(\dfrac{4a}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \dfrac{5(a - 1)}{4a} = \dfrac{5}{a + 1}\).
При \(a > -1\) знаменатель \(a + 1 > 0\), поэтому \(\dfrac{5}{a + 1} > 0\), что и требовалось доказать.
Ответ
Выражение равно 5/(a + 1); при a > −1 знаменатель положителен, значит, и выражение положительно.
Почему так
После упрощения выражение равно 5/(a + 1), а его знак определяется знаком a + 1.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».