Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 412 к § 21

§ 21. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными · тема: Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Не решая систему $$2x + 3y = 4$$ , $$3x + 2y = 2$$ , выясните, имеет ли она решения и сколько.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{3}{2}$ .

$\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{3}{2}$ — коэффициенты не пропорциональны, прямые пересекаются.

Ответ

Одно решение

Почему так

Если a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, система имеет единственное решение.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Не решая систему $$2x + 3y = 4$$ , $$4x + 6y = 2$$ , выясните, имеет ли она решения и сколько.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{4}{2} = 2$ .

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \ne 2$ — прямые параллельны.

Ответ

Решений нет

Почему так

Если a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, система не имеет решений.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Не решая систему $$3x - 6y = 2$$ , $$-x + 2y = -1$$ , выясните, имеет ли она решения и сколько.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{-1} = -3$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-6}{2} = -3$ , $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{2}{-1} = -2$ .

$-3 = -3 \ne -2$ — прямые параллельны.

Ответ

Решений нет

Почему так

Коэффициенты при x и y пропорциональны, а свободные члены — нет.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Не решая систему $$2x = 5$$ , $$3x + 2y = 2$$ , выясните, имеет ли она решения и сколько.

Решение

В первом уравнении коэффициент при $$y$$ равен нулю: $2x + 0 \cdot y = 5$ .

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{3}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{0}{2} = 0$ . Отношения не равны (или: $a_1b_2 = 4 \ne a_2b_1 = 0$ ).

Ответ

Одно решение

Почему так

Коэффициенты при переменных не пропорциональны — решение единственное.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Не решая систему $$3y = 4$$ , $$4x + 6y = 1$$ , выясните, имеет ли она решения и сколько.

Решение

Первое уравнение: $0 \cdot x + 3y = 4$ .

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{0}{4} = 0$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ . Отношения не равны.

Ответ

Одно решение

Почему так

Если a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, система имеет единственное решение.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Не решая систему $$3x + 5y = -6$$ , $$9x + 15y = -18$$ , выясните, имеет ли она решения и сколько.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{-6}{-18} = \dfrac{1}{3}$ .

Все отношения равны: второе уравнение — первое, умноженное на $$3$$ . Прямые совпадают.

Ответ

Бесконечно много решений

Почему так

Если a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂, система имеет бесконечно много решений.

Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Похожие задачи для тренировки