Система \begincases a_1x + b_1y = c_1 \ a_2x + b_2y = c_2 \endcases имеет единственное решение, если…

Отношения a₁/a₂ и b₁/b₂ не равны

Все три отношения a₁/a₂, b₁/b₂, c₁/c₂ равны

Отношения a₁/a₂ и b₁/b₂ равны, а c₁/c₂ — нет

Свободные члены c₁ и c₂ не равны

Какие системы имеют бесконечно много решений?

Система $x + y = 2$, $2x + 2y = 4$

Система $x - 3y = 1$, $-2x + 6y = -2$

Система $x + y = 2$, $x + y = 3$

Система $2x - y = 0$, $x + 2y = 0$

Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

Одно, ни одного или бесконечно много

Любое конечное число

Исследование системы линейных уравнений

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Решение систем уравнений с двумя переменными

Коротко о главном

Сколько решений у системы двух линейных уравнений, можно узнать, не решая её: достаточно сравнить отношения коэффициентов при $$x$$ , при $$y$$ и свободных членов.

\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2} \;\Rightarrow\; \text{одно решение}; \quad \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2} \;\Rightarrow\; \text{нет решений}; \quad \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} \;\Rightarrow\; \text{бесконечно много}

Подробное объяснение

Представьте две дороги на карте. Они могут перекрёстком пересечься в одной точке, могут идти параллельно и никогда не встретиться, а могут оказаться одной и той же дорогой, нарисованной дважды. С системой двух линейных уравнений происходит ровно то же самое.

Почему речь о прямых

Возьмём систему

\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}

Графиком каждого уравнения (если коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ не равны нулю одновременно) служит прямая. Решение системы — это пара $(x;\ y)$ , которая подходит обоим уравнениям, то есть общая точка двух прямых. У двух прямых бывает только три варианта расположения, поэтому и у системы только три возможности: одно решение, ни одного или бесконечно много.

Три координатные плоскости с двумя прямыми: прямые пересекаются в одной точке, прямые параллельны, прямые совпадают. Под каждой — условие на отношения коэффициентов и число решений. — Одно решение — прямые пересекаются, нет решений — параллельны, бесконечно много — совпадают.

Откуда берутся отношения коэффициентов

Наклон прямой зависит только от коэффициентов при $$x$$ и $$y$$ . Если выразить $$y$$ , получится $y = -\dfrac{a}{b}x + \dfrac{c}{b}$ . Две прямые имеют одинаковый наклон, когда $\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2}$ , а это то же самое, что $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ .

Если $\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}$ , наклоны разные — прямые пересекаются, решение одно.
Если $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ , наклоны одинаковые. Тогда смотрим на свободные члены. Если и $\dfrac{c_1}{c_2}$ равно тому же числу, второе уравнение — это первое, умноженное на число. Прямые совпадают, решений бесконечно много: подходит любая точка прямой.
Если $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}$ , прямые параллельны, решений нет.

Например, в системе $$2x - y = 3$$ , $$6x - 3y = 9$$ все отношения равны $\dfrac{1}{3}$ — это одна прямая. А в системе $$2x - y = 3$$ , $$6x - 3y = 1$$ коэффициенты пропорциональны, но $\dfrac{3}{1} \ne \dfrac{1}{3}$ — решений нет.

Когда есть нулевой коэффициент

На ноль делить нельзя. Если, например, $$a_2 = 0$$ , сравнивают произведения «крест-накрест»: решение одно, когда $a_1b_2 \ne a_2b_1$ . Это то же условие, только без дробей. Например, у системы $$4y = 7$$ , $$3x - 2y = 1$$ получаем $0 \cdot (-2) \ne 3 \cdot 4$ — решение одно.

Как подобрать уравнение под нужный ответ

Бесконечно много решений — умножьте первое уравнение на любое число, кроме нуля.
Нет решений — оставьте коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ (или умножьте их на одно число), а свободный член измените.
Одно решение — измените коэффициент при $$x$$ так, чтобы пропорция нарушилась.

Как решать задачи

Запишите оба уравнения в одном виде: $$ax + by = c$$ (переменные слева, число справа).
Найдите отношения $\dfrac{a_1}{a_2}$ и $\dfrac{b_1}{b_2}$ . Если какой-то коэффициент равен нулю, сравните $$a_1b_2$$ и $$a_2b_1$$ .
Отношения не равны — решение одно, дальше можно не считать.
Отношения равны — найдите $\dfrac{c_1}{c_2}$ . Равно им — решений бесконечно много, не равно — решений нет.
Если в коэффициентах есть параметр ( $$k$$ , $$m$$ ), запишите нужное условие как равенство или неравенство и найдите параметр.

Схема: привести уравнения к виду ax + by = c, сравнить a₁/a₂ и b₁/b₂; если не равны — одно решение; если равны, сравнить с c₁/c₂: не равно — нет решений, равно — бесконечно много. — Сначала сравнивают коэффициенты при x и y, и только если они пропорциональны — свободные члены.

Разобранные примеры

База

Есть ли решения у системы

Условие

Не решая систему $\begin{cases} 3x - y = 4, \\ 6x - 2y = 5, \end{cases}$ выясните, есть ли у неё решения.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$ — коэффициенты пропорциональны.

$\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{4}{5} \ne \dfrac{1}{2}$ . Прямые параллельны.

Ответ: Решений нет.

Средний

Уравнения записаны с нулём справа

Условие

Определите число решений системы $\begin{cases} 5x + 2y - 3 = 0, \\ -10x - 4y + 6 = 0. \end{cases}$

Решение

Перенесём свободные члены вправо: $$5x + 2y = 3$$ , $$-10x - 4y = -6$$ .

$\dfrac{5}{-10} = -\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{3}{-6} = -\dfrac{1}{2}$ — все отношения равны. Второе уравнение — первое, умноженное на $$-2$$ .

Ответ: Бесконечно много решений.

Сложный

Подбираем параметры

Условие

Дана система $\begin{cases} 2x + ay = 3, \\ 6x + 9y = b. \end{cases}$ При каких $$a$$ и $$b$$ она имеет бесконечно много решений? При каких — не имеет решений? Когда решение одно?

Решение

Бесконечно много решений: $\dfrac{2}{6} = \dfrac{a}{9} = \dfrac{3}{b}$ . Из $\dfrac{a}{9} = \dfrac{1}{3}$ получаем $$a = 3$$ , из $\dfrac{3}{b} = \dfrac{1}{3}$ получаем $$b = 9$$ .

Нет решений: $\dfrac{2}{6} = \dfrac{a}{9}$ , но $\dfrac{3}{b} \ne \dfrac{1}{3}$ , то есть $$a = 3$$ , $b \ne 9$ .

Одно решение: $\dfrac{2}{6} \ne \dfrac{a}{9}$ , то есть $a \ne 3$ , а $$b$$ — любое.

Ответ: a = 3, b = 9 — бесконечно много решений; a = 3, b ≠ 9 — решений нет; a ≠ 3 — одно решение.

Типичные ошибки

Сравнивают свободные члены, записанные в разном виде

Почему неверно

В системе $$x + 2y + 3 = 0$$ , $$2x + 4y = 6$$ у первого уравнения число стоит слева, у второго — справа. Если взять $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ , кажется, что прямые совпадают. Но в виде $$ax + by = c$$ первое уравнение — это $$x + 2y = -3$$ , и $\dfrac{-3}{6} \ne \dfrac{1}{2}$ : решений нет.

Как правильно

Сначала приведите оба уравнения к одному виду: переменные слева, числа справа. Только потом считайте отношения.

Решают, что решений нет, не проверив свободные члены

Почему неверно

Равенство $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2}$ означает только, что прямые параллельны или совпадают. Без третьего отношения нельзя сказать, какой из двух случаев.

Как правильно

Если коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ пропорциональны, обязательно сравните ещё и $\dfrac{c_1}{c_2}$ .

Делят на нулевой коэффициент

Почему неверно

В системе $$2x = 5$$ , $$3x + 2y = 2$$ коэффициент $$b_1 = 0$$ . Дробь $\dfrac{b_2}{b_1}$ записать нельзя, и ученик бросает задачу или пишет «отношение не существует — решений нет».

Как правильно

Ставьте нулевой коэффициент в числитель ( $\dfrac{0}{2} = 0 \ne \dfrac{2}{3}$ ) или сравните произведения $$a_1b_2$$ и $$a_2b_1$$ . Здесь $2 \cdot 2 \ne 3 \cdot 0$ , значит, решение одно.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Не решая систему x + 2y = 5, 2x + 4y = 10, определите, сколько она имеет решений.

Подсказка

Сравните отношения коэффициентов при x, при y и свободных членов.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ , $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}$ .

Все три отношения равны: второе уравнение — это первое, умноженное на $$2$$ . Прямые совпадают, решений бесконечно много.

Ответ

Бесконечно много решений

База Задача 2

Не решая систему 3x + 2y = 7, x − 4y = 1, определите, сколько она имеет решений.

Подсказка

Достаточно сравнить отношения коэффициентов при x и при y.

Решение

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{3}{1} = 3$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$ .

Отношения не равны, значит, прямые пересекаются и решение одно.

Ответ

Одно решение

Средний Задача 3

При каком значении k система kx + 6y = 4, 2x + 3y = 5 не имеет решений?

Подсказка

Нужно, чтобы k/2 = 6/3, а отношение свободных членов было другим.

Решение

Решений нет, если $\dfrac{k}{2} = \dfrac{6}{3} \ne \dfrac{4}{5}$ .

Из $\dfrac{k}{2} = 2$ получаем $$k = 4$$ . Отношение свободных членов $\dfrac{4}{5} \ne 2$ — условие выполнено.

Ответ

k = 4

Средний Задача 4

При каком значении m система 3x − 5y = m, 6x − 10y = 8 имеет бесконечно много решений?

Подсказка

Все три отношения должны быть равны.

Решение

$\dfrac{3}{6} = \dfrac{-5}{-10} = \dfrac{1}{2}$ , поэтому нужно $\dfrac{m}{8} = \dfrac{1}{2}$ , откуда $$m = 4$$ .

Ответ

m = 4

Сложный Задача 5

При каком значении a система ax + 2y = 3, 8x + ay = 6 имеет бесконечно много решений? Что будет при a = −4?

Подсказка

Отношение свободных членов известно сразу — 3/6. Приравняйте к нему остальные отношения.

Решение

Нужно $\dfrac{a}{8} = \dfrac{2}{a} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Из $\dfrac{a}{8} = \dfrac{1}{2}$ получаем $$a = 4$$ ; тогда $\dfrac{2}{a} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ — тоже подходит.

При $$a = -4$$ , получаем $\dfrac{-4}{8} = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$ , но $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ — другое число. Прямые параллельны, решений нет.

Ответ

a = 4; при a = −4 решений нет

Сложный Задача 6

При каких значениях c система 3x − 2y = c, 6x − 4y = 10 имеет хотя бы одно решение?

Подсказка

Коэффициенты при x и y пропорциональны. Значит, решений либо нет, либо бесконечно много.

Решение

$\dfrac{3}{6} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2}$ — одного решения быть не может.

Если $\dfrac{c}{10} = \dfrac{1}{2}$ , то есть $$c = 5$$ , прямые совпадают — решений бесконечно много. При любом другом $$c$$ прямые параллельны — решений нет.

Ответ

Только при c = 5 (решений тогда бесконечно много)

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Положите на стол две линейки. Их можно скрестить (одна общая точка), положить параллельно (общих точек нет) или наложить друг на друга (общих точек бесконечно много). Каждое линейное уравнение — такая линейка на клетчатой бумаге. Наклон линейки задают коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ : если они пропорциональны, линейки параллельны или лежат одна на другой — решает свободный член.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у системы двух линейных уравнений не бывает ровно двух решений? 2) Что нужно сделать с уравнением $$x - y = 1$$ , чтобы получить второе уравнение системы с бесконечным числом решений? 3) Какие три числа сравнивают в системе $$4x + 6y = 1$$ , $$2x + 3y = 5$$ и что получится?

На что обратить внимание. Перед сравнением уравнения должны быть записаны в одном виде — это главный источник ошибок. Если в коэффициенте ноль, на него не делят: помогает сравнение произведений $$a_1b_2$$ и $$a_2b_1$$ .

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 21	412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419