Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 413 к § 21

Задача 1

Условие (кратко)

а) Определите число решений системы $$2x + 2y + 7 = 0$$ , $$10x - 4y + 14 = 0$$ .

Решение

Запишем уравнения в виде $$ax + by = c$$ , получим $$2x + 2y = -7$$ , $$10x - 4y = -14$$ .

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{2}{-4} = -\dfrac{1}{2}$ . Отношения не равны.

Ответ

Одно решение

Почему так

Коэффициенты при x и y не пропорциональны — прямые пересекаются.

Условие (кратко)

б) Определите число решений системы $$x + 3y + 6 = 0$$ , $$10x + 30y + 60 = 0$$ .

Решение

Запишем уравнения в виде $$ax + by = c$$ , получим $$x + 3y = -6$$ , $$10x + 30y = -60$$ .

$\dfrac{1}{10} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{-6}{-60} = \dfrac{1}{10}$ — второе уравнение получается из первого умножением на $$10$$ .

Ответ

Бесконечно много решений

Почему так

Все три отношения коэффициентов равны — прямые совпадают.

Условие (кратко)

в) Определите число решений системы $$8x - 4y - 15 = 0$$ , $$10x - 5y - 28 = 0$$ .

Решение

Запишем уравнения в виде $$ax + by = c$$ , получим $$8x - 4y = 15$$ , $$10x - 5y = 28$$ .

$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$ , $\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{-4}{-5} = \dfrac{4}{5}$ , $\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{15}{28}$ .

$\dfrac{15}{28} \ne \dfrac{4}{5}$ , так как $15 \cdot 5 = 75 \ne 28 \cdot 4 = 112$ . Прямые параллельны.

Ответ

Решений нет

Почему так

Если a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, система не имеет решений.