Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 414 к § 21

Задача 1

Условие (кратко)

а) Первое уравнение системы $$3x - 2y = 1$$ . Подберите второе уравнение так, чтобы система имела единственное решение.

Решение

Нужно, чтобы $\dfrac{3}{a_2} \ne \dfrac{-2}{b_2}$ . Возьмём, например, $$x + y = 2$$ , тогда $\dfrac{3}{1} = 3$ , $\dfrac{-2}{1} = -2$ , $3 \ne -2$ .

Проверка: из $$x + y = 2$$ получаем $$y = 2 - x$$ , тогда $$3x - 2(2 - x) = 1$$ , $$5x = 5$$ , $$x = 1$$ , $$y = 1$$ — решение единственное.

Ответ

Например, x + y = 2 (решение системы (1; 1)); подходит любое уравнение, где a₂ и b₂ не пропорциональны 3 и −2

Почему так

Единственное решение — когда коэффициенты при x и y не пропорциональны.

Условие (кратко)

б) Первое уравнение системы $$3x - 2y = 1$$ . Подберите второе уравнение так, чтобы система не имела решений.

Решение

Коэффициенты при $$x$$ и $$y$$ оставим теми же, а свободный член изменим: $$3x - 2y = 5$$ .

$\dfrac{3}{3} = \dfrac{-2}{-2} = 1$ , но $\dfrac{1}{5} \ne 1$ — прямые параллельны.

Ответ

Например, 3x − 2y = 5 (любое уравнение 3x − 2y = c с c ≠ 1, или кратное ему)

Почему так

Нет решений — коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены нет.

Условие (кратко)

в) Первое уравнение системы $$3x - 2y = 1$$ . Подберите второе уравнение так, чтобы система имела бесконечно много решений.

Решение

Умножим первое уравнение на $$2$$ и получим $$6x - 4y = 2$$ .

$\dfrac{3}{6} = \dfrac{-2}{-4} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$ — прямые совпадают.

Ответ

Например, 6x − 4y = 2 (первое уравнение, умноженное на любое число, кроме 0)

Почему так

Бесконечно много решений — все три отношения коэффициентов равны.