Задача 1
Система \(kx + 4y = 6\), \(5x + 8y = 3\). Подберите k, при котором решение единственное. Есть ли k, при котором решений нет; бесконечно много? (повышенной трудности)
Решение
Здесь \(\dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{c_1}{c_2} = \dfrac{6}{3} = 2\).
Решение единственное, если \(\dfrac{k}{5} \ne \dfrac{1}{2}\), то есть \(k \ne 2{,}5\). Подходит, например, \(k = 0\): система \(4y = 6\), \(5x + 8y = 3\) имеет одно решение.
Если \(k = 2{,}5\), то \(\dfrac{k}{5} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{b_1}{b_2}\), но \(\dfrac{c_1}{c_2} = 2 \ne \dfrac{1}{2}\). Прямые параллельны — решений нет. Значит, такое \(k\) существует.
Бесконечно много решений было бы при \(\dfrac{k}{5} = \dfrac{1}{2} = 2\), а \(\dfrac{1}{2} \ne 2\) — такого \(k\) нет.
В ответах учебника на второй вопрос указано «нет», но при \(k = 2{,}5\) система \(2{,}5x + 4y = 6\), \(5x + 8y = 3\) решений не имеет: умножив первое уравнение на \(2\), получаем \(5x + 8y = 12\), что противоречит \(5x + 8y = 3\).
Ответ
При пропорциональных коэффициентах при x и y решений нет или бесконечно много — это решают свободные члены.
Подробнее — в теме «Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными».