Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 21

Упражнение 416 к § 21

Задача 1

Условие (кратко)

а) В системе $$4x - 5y = 8$$ , $$kx + 15y = m$$ подберите k и m так, чтобы система не имела решений (повышенной трудности).

Решение

Нужно $\dfrac{4}{k} = \dfrac{-5}{15} \ne \dfrac{8}{m}$ .

$\dfrac{-5}{15} = -\dfrac{1}{3}$ , поэтому $\dfrac{4}{k} = -\dfrac{1}{3}$ , $$k = -12$$ .

$\dfrac{8}{m} \ne -\dfrac{1}{3}$ , то есть $m \ne -24$ . Возьмём $$m = 1$$ : система $$4x - 5y = 8$$ , $$-12x + 15y = 1$$ .

Ответ

k = −12, m — любое, кроме −24 (например, m = 1)

Почему так

Нет решений — коэффициенты при x и y пропорциональны, свободные члены нет.

Условие (кратко)

б) В системе $$4x - 5y = 8$$ , $$kx + 15y = m$$ подберите k и m так, чтобы система имела бесконечно много решений (повышенной трудности).

Решение

Нужно $\dfrac{4}{k} = \dfrac{-5}{15} = \dfrac{8}{m} = -\dfrac{1}{3}$ .

Отсюда $$k = -12$$ , $$m = -24$$ : второе уравнение — первое, умноженное на $$-3$$ .

Ответ

k = −12, m = −24

Почему так

Бесконечно много решений — второе уравнение получается из первого умножением на число.

Условие (кратко)

в) В системе $$4x - 5y = 8$$ , $$kx + 15y = m$$ подберите k и m так, чтобы система имела единственное решение (повышенной трудности).

Решение

Нужно $\dfrac{4}{k} \ne -\dfrac{1}{3}$ , то есть $k \ne -12$ ; $$m$$ может быть любым.

Например, $$k = 1$$ , $$m = 1$$ , тогда $\dfrac{4}{1} = 4 \ne -\dfrac{1}{3}$ .

Ответ

Любое k ≠ −12 и любое m, например k = m = 1

Почему так

Единственное решение — когда коэффициенты при x и y не пропорциональны.