Задача 1
Условие (кратко)
Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение
Дано
- диагональ 10 см
- периметр 28 см
Найти
- стороны
Пусть стороны прямоугольника \(x\) см и \(y\) см (\(x > 0\), \(y > 0\)). Полупериметр \(x + y = 14\), а по теореме Пифагора квадрат диагонали \(x^2 + y^2 = 100\):
\[\begin{cases} x + y = 14, \\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases}\]
Подставим \(y = 14 - x\), получаем \(x^2 + (14 - x)^2 = 100\), \(2x^2 - 28x + 96 = 0\), \(x^2 - 14x + 48 = 0\).
\(D = 196 - 192 = 4\), \(x_1 = 8\), \(x_2 = 6\); тогда \(y_1 = 6\), \(y_2 = 8\) — это один и тот же прямоугольник.
Проверка: \(2(6 + 8) = 28\), \(36 + 64 = 100\).
Ответ
6 см и 8 см
Почему так
Периметр даёт линейное уравнение, а диагональ по теореме Пифагора — уравнение второй степени.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».