Задача 1
Условие (кратко)
Прямоугольный участок площадью 2400 м² обнесён изгородью длиной 200 м. Найдите длину и ширину участка.
Решение
Дано
- площадь 2400 м²
- периметр 200 м
Найти
- длину и ширину
Пусть длина участка \(x\) м, ширина \(y\) м (\(x \ge y > 0\)). Длина изгороди — периметр, поэтому \(2(x + y) = 200\):
\[\begin{cases} x + y = 100, \\ xy = 2400. \end{cases}\]
Подставим \(y = 100 - x\), получаем \(x(100 - x) = 2400\), \(x^2 - 100x + 2400 = 0\).
\(D = 10\,000 - 9600 = 400\), \(x = \dfrac{100 \pm 20}{2}\), \(x_1 = 60\), \(x_2 = 40\). Так как длина не меньше ширины, \(x = 60\), \(y = 40\).
Проверка: \(60 \cdot 40 = 2400\), \(2(60 + 40) = 200\).
Ответ
Длина 60 м, ширина 40 м
Почему так
Площадь и периметр прямоугольника дают систему из уравнения xy = S и линейного уравнения.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».