Задача 1
Условие (кратко)
Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза 37 см. Найдите площадь треугольника.
Решение
Дано
- периметр 84 см
- гипотенуза 37 см
Найти
- площадь \(S\)
Пусть катеты \(x\) см и \(y\) см. Сумма катетов \(84 - 37 = 47\) см, по теореме Пифагора \(x^2 + y^2 = 37^2 = 1369\):
\[\begin{cases} x + y = 47, \\ x^2 + y^2 = 1369. \end{cases}\]
Площадь равна \(\dfrac{xy}{2}\), поэтому достаточно найти \(xy\):
\[2xy = (x + y)^2 - (x^2 + y^2) = 2209 - 1369 = 840,\]
откуда \(xy = 420\), \(S = \dfrac{420}{2} = 210\) см².
Сами катеты — корни уравнения \(t^2 - 47t + 420 = 0\), получаем \(D = 2209 - 1680 = 529\), \(t_1 = 35\), \(t_2 = 12\). Проверка: \(35^2 + 12^2 = 1225 + 144 = 1369\).
Ответ
210 см²
Почему так
Площадь находится через произведение катетов, которое выражается из суммы катетов и теоремы Пифагора.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».