Задача 1
Условие (кратко)
От вершины прямого угла по его сторонам одновременно движутся два тела. Через 15 с расстояние между ними 3 м. Первое за 6 с проходит столько же, сколько второе за 8 с. Найдите скорости тел.
Решение
Дано
- время 15 с
- расстояние 3 м
- путь первого за 6 с равен пути второго за 8 с
Найти
- скорости
Пусть скорость первого тела \(x\) м/с, второго \(y\) м/с. По условию \(6x = 8y\). За 15 с тела прошли \(15x\) и \(15y\) м по сторонам прямого угла, это катеты, а 3 м — гипотенуза:
\[\begin{cases} 6x = 8y, \\ (15x)^2 + (15y)^2 = 9. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(x = \dfrac{4y}{3}\). Второе уравнение: \(x^2 + y^2 = \dfrac{9}{225} = 0{,}04\). Подставим: \(\dfrac{16y^2}{9} + y^2 = 0{,}04\), \(\dfrac{25y^2}{9} = 0{,}04\), \(y^2 = 0{,}0144\).
Скорость положительна, поэтому \(y = 0{,}12\), \(x = \dfrac{4 \cdot 0{,}12}{3} = 0{,}16\).
Проверка: за 15 с тела прошли 2,4 м и 1,8 м, \(2{,}4^2 + 1{,}8^2 = 5{,}76 + 3{,}24 = 9 = 3^2\).
Ответ
0,16 м/с и 0,12 м/с
Почему так
Пути тел вдоль сторон прямого угла — катеты, а расстояние между телами — гипотенуза.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».