Задача 1
Условие (кратко)
На каждой стороне прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов 122 см², площадь прямоугольника 30 см². Найдите стороны прямоугольника.
Решение
Дано
- сумма площадей четырёх квадратов 122 см²
- площадь прямоугольника 30 см²
Найти
- стороны
Пусть стороны прямоугольника \(x\) см и \(y\) см. Квадратов четыре: два со стороной \(x\) и два со стороной \(y\), поэтому \(2x^2 + 2y^2 = 122\):
\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 61, \\ xy = 30. \end{cases}\]
Тогда \((x + y)^2 = 61 + 60 = 121\), а так как стороны положительны, \(x + y = 11\).
Числа с суммой 11 и произведением 30 — корни уравнения \(t^2 - 11t + 30 = 0\), получаем \(t_1 = 6\), \(t_2 = 5\).
Проверка: \(2 \cdot 36 + 2 \cdot 25 = 122\), \(6 \cdot 5 = 30\).
Ответ
6 см и 5 см
Почему так
Сумма квадратов и произведение сторон дают их сумму через формулу квадрата суммы.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».