Задача 1
Условие (кратко)
Площадь прямоугольного треугольника 24 см², гипотенуза 10 см. Найдите катеты.
Решение
Дано
- площадь 24 см²
- гипотенуза 10 см
Найти
- катеты
Пусть катеты \(x\) см и \(y\) см. Площадь \(\dfrac{xy}{2} = 24\), по теореме Пифагора \(x^2 + y^2 = 100\):
\[\begin{cases} xy = 48, \\ x^2 + y^2 = 100. \end{cases}\]
Тогда \((x + y)^2 = 100 + 96 = 196\), \(x + y = 14\); \((x - y)^2 = 100 - 96 = 4\), \(|x - y| = 2\).
Отсюда катеты равны \(\dfrac{14 + 2}{2} = 8\) и \(\dfrac{14 - 2}{2} = 6\).
Проверка: \(\dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24\), \(64 + 36 = 100\).
Ответ
8 см и 6 см
Почему так
Площадь даёт произведение катетов, теорема Пифагора — сумму их квадратов.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».