Задача 1
Условие (кратко)
Гипотенуза прямоугольного треугольника 13 см. Если один катет увеличить на 4 см, гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты.
Решение
Дано
- гипотенуза 13 см; катет увеличили на 4 см — гипотенуза стала 15 см
Найти
- катеты
Пусть увеличиваемый катет \(x\) см, другой \(y\) см. По теореме Пифагора для старого и нового треугольников:
\[\begin{cases} x^2 + y^2 = 169, \\ (x + 4)^2 + y^2 = 225. \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(8x + 16 = 56\), \(x = 5\). Тогда \(y^2 = 169 - 25 = 144\), \(y = 12\) (длина положительна).
Проверка: \(9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2\).
Ответ
5 см и 12 см
Почему так
Теорема Пифагора для двух треугольников даёт систему, которую удобно решать вычитанием уравнений.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».