Задача 1
Условие (кратко)
Один комбайнёр убирает урожай с участка на 24 ч быстрее другого. Работая вместе, они закончат уборку за 35 ч. За сколько часов каждый уберёт урожай один?
Решение
Дано
- один быстрее другого на 24 ч
- вместе — 35 ч
Найти
- время каждого
Пусть первый (более медленный) комбайнёр убирает урожай за \(x\) ч, второй — за \(y\) ч. За 1 ч они убирают \(\dfrac{1}{x}\) и \(\dfrac{1}{y}\) участка, вместе — \(\dfrac{1}{35}\):
\[\begin{cases} x - y = 24, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{35}. \end{cases}\]
Подставим \(x = y + 24\) и умножим на \(35y(y + 24)\), получаем \(35y + 35(y + 24) = y(y + 24)\), то есть \(y^2 - 46y - 840 = 0\).
\(D = 2116 + 3360 = 5476 = 74^2\), \(y = \dfrac{46 \pm 74}{2}\), \(y_1 = 60\), \(y_2 = -14\) (время отрицательным не бывает). Тогда \(x = 84\).
Проверка: \(\dfrac{1}{84} + \dfrac{1}{60} = \dfrac{5 + 7}{420} = \dfrac{1}{35}\).
Ответ
84 ч и 60 ч
Почему так
В задачах на совместную работу складывают производительности — части работы, выполняемые за 1 ч.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».