Задача 1
Условие (кратко)
Одна бригада асфальтирует участок дороги на 4 ч быстрее другой. За 24 ч совместной работы они заасфальтировали бы 5 таких участков. За сколько часов каждая бригада асфальтирует участок?
Решение
Дано
- одна бригада быстрее на 4 ч
- вместе за 24 ч — 5 участков
Найти
- время каждой бригады на участок
Пусть первая бригада асфальтирует участок за \(x\) ч, вторая (более быстрая) — за \(y\) ч. За 24 ч они сделают \(\dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{y}\) участков:
\[\begin{cases} x - y = 4, \\ \dfrac{24}{x} + \dfrac{24}{y} = 5. \end{cases}\]
Подставим \(x = y + 4\) и умножим на \(y(y + 4)\), получаем \(24y + 24(y + 4) = 5y(y + 4)\), то есть \(5y^2 - 28y - 96 = 0\).
\(D = 784 + 1920 = 2704 = 52^2\), \(y = \dfrac{28 \pm 52}{10}\), \(y_1 = 8\), \(y_2 = -2{,}4\) (не подходит). Тогда \(x = 12\).
Проверка: \(\dfrac{24}{12} + \dfrac{24}{8} = 2 + 3 = 5\).
Ответ
12 ч и 8 ч
Почему так
Объём совместной работы равен сумме производительностей, умноженной на время.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».