Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 22, упражнение 432

Условие (кратко)

Вкладчик через год получил на 40 000 р. больше вложенного. Оставив деньги ещё на год под тот же процент, он снял всю сумму — 583 200 р. Какая сумма была вложена и какой процент годовых?

Решение

Дано

доход за первый год 40 000 р.
сумма через два года 583 200 р

Найти

вклад и процент

Пусть вложено $$x$$ р., а банк начисляет $$y$$ % годовых. За год сумма умножается на $1 + \dfrac{y}{100}$ . Доход первого года $\dfrac{xy}{100} = 40\,000$ , через два года $x\left(1 + \dfrac{y}{100}\right)^2 = 583\,200$ .

Через год на счёте $x + 40\,000$ р., а после второго года $(x + 40\,000)\left(1 + \dfrac{y}{100}\right) = 583\,200$ . Обозначим $k = \dfrac{y}{100}$ , тогда $x = \dfrac{40\,000}{k}$ и

\left(\dfrac{40\,000}{k} + 40\,000\right)(1 + k) = 583\,200, \quad \dfrac{(1 + k)^2}{k} = 14{,}58.

Получаем

k^2 - 12{,}58k + 1 = 0

,

D = 158{,}2564 - 4 = 154{,}2564 = 12{,}42^2

,

k_1 = 0{,}08

,

k_2 = 12{,}5

.

Второй корень означает 1250 % годовых и вклад 3200 р. — формально он подходит, но банк не начисляет таких процентов, поэтому по смыслу берём $$k = 0{,}08$$ , то есть $$y = 8$$ , $x = \dfrac{40\,000}{0{,}08} = 500\,000$ .

Проверка: $500\,000 \cdot 1{,}08 = 540\,000$ , $540\,000 \cdot 1{,}08 = 583\,200$ .

Ответ

500 000 р.; 8 % годовых

Почему так

За каждый год сумма вклада умножается на одно и то же число 1 + p/100.

Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».

Упражнение 432 к § 22

Задача 1

Похожие задачи для тренировки