Задача 1
Условие (кратко)
Два экскаватора вместе выполняют объём работ за 3 ч 45 мин. Один отдельно выполняет его на 4 ч быстрее другого. Сколько времени нужно каждому экскаватору отдельно?
Решение
Дано
- вместе — 3 ч 45 мин \(= \dfrac{15}{4}\) ч
- один быстрее другого на 4 ч
Найти
- время каждого
Пусть первый экскаватор выполняет работу за \(x\) ч, второй (более быстрый) — за \(y\) ч. Вместе за 1 ч они выполняют \(\dfrac{1}{15/4} = \dfrac{4}{15}\) работы:
\[\begin{cases} x - y = 4, \\ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{4}{15}. \end{cases}\]
Подставим \(x = y + 4\) и умножим на \(15y(y + 4)\), получаем \(15y + 15(y + 4) = 4y(y + 4)\), то есть \(4y^2 - 14y - 60 = 0\), \(2y^2 - 7y - 30 = 0\).
\(D = 49 + 240 = 289\), \(y = \dfrac{7 \pm 17}{4}\), \(y_1 = 6\), \(y_2 = -2{,}5\) (не подходит). Тогда \(x = 10\).
Проверка: \(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3 + 5}{30} = \dfrac{4}{15}\).
Ответ
10 ч и 6 ч
Почему так
Время работы переводят в часы, а производительности при совместной работе складывают.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».