Задача 1
Условие (кратко)
Груз массой 30 кг давит на опору. Если массу уменьшить на 2 кг, а площадь опоры — на 1 дм², масса на каждый квадратный дециметр увеличится на 1 кг. Найдите площадь опоры.
Решение
Дано
- масса 30 кг
- после изменений — 28 кг и площадь меньше на 1 дм²
- масса на 1 дм² больше на 1 кг
Найти
- площадь опоры
Пусть площадь опоры \(x\) дм², а на 1 дм² приходится \(y\) кг (\(x > 1\)). Тогда
\[\begin{cases} xy = 30, \\ (x - 1)(y + 1) = 28. \end{cases}\]
Раскроем скобки во втором уравнении: \(xy + x - y - 1 = 28\), и с учётом \(xy = 30\) получаем \(x - y = -1\), \(y = x + 1\).
Подставим в первое: \(x(x + 1) = 30\), \(x^2 + x - 30 = 0\), \(D = 1 + 120 = 121\), \(x_1 = 5\), \(x_2 = -6\) (площадь положительна).
Проверка: \(30 : 5 = 6\) кг на 1 дм², \(28 : 4 = 7\) кг на 1 дм² — на 1 кг больше.
Ответ
5 дм²
Почему так
Масса на единицу площади равна массе, делённой на площадь, — отсюда уравнения вида xy = m.
Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».