Алгебра 9 класс Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова, § 22, упражнение 441

Условие (кратко)

К раствору, содержащему 50 г соли, добавили 150 г воды. Концентрация уменьшилась на 7,5 %. Сколько воды было в растворе и какова была его концентрация?

Решение

Дано

соли 50 г
добавили 150 г воды
концентрация уменьшилась на 7,5 процентного пункта

Найти

массу воды и начальную концентрацию

Пусть в растворе было $$x$$ г воды, а концентрация соли была $$y$$ %. Масса раствора $$50 + x$$ г, после добавления воды — $$200 + x$$ г:

\begin{cases} \dfrac{50}{50 + x} \cdot 100 = y, \\ \dfrac{50}{200 + x} \cdot 100 = y - 7{,}5. \end{cases}

Вычтем второе уравнение из первого:

\dfrac{5000}{50 + x} - \dfrac{5000}{200 + x} = 7{,}5

. Умножим на

\((50 + x)(200 + x)\)

, получаем

5000 \cdot 150 = 7{,}5(50 + x)(200 + x)

, то есть

(50 + x)(200 + x) = 100\,000

.

Обозначим $$m = 50 + x$$ (масса раствора): $m(m + 150) = 100\,000$ , $m^2 + 150m - 100\,000 = 0$ , $D = 22\,500 + 400\,000 = 422\,500 = 650^2$ , $$m_1 = 250$$ , $$m_2 = -400$$ (не подходит).

Значит, $$x = 250 - 50 = 200$$ г, $y = \dfrac{50}{250} \cdot 100 = 20$ %.

Проверка: после добавления воды $\dfrac{50}{400} = 12{,}5$ %, это на 7,5 % меньше, чем 20 %.

Ответ

200 г воды; 20 %

Почему так

Концентрация — доля соли в массе всего раствора; при добавлении воды меняется только масса раствора.

Подробнее — в теме «Решение задач с помощью систем уравнений второй степени».

Упражнение 441 к § 22

Задача 1

Похожие задачи для тренировки