Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 449 к § 23

§ 23. Неравенства с двумя переменными · тема: Неравенства с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством $y \geqslant x$ .

Решение

Граница — прямая $$y = x$$ (биссектриса первой и третьей четвертей), проходит через $(0;\ 0)$ и $(2;\ 2)$ . Знак нестрогий — прямая сплошная.

Начало координат лежит на границе, поэтому контрольная точка — $(0;\ 1)$ , она даёт $1 \geqslant 0$ — верно.

Закрашиваем полуплоскость выше прямой $$y = x$$ вместе с прямой.

Ответ

Прямая y = x (сплошная) и полуплоскость выше неё

Почему так

Неравенство y ≥ kx + m задаёт прямую y = kx + m и полуплоскость над ней.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством $y \leqslant x - 1$ .

Решение

Граница — прямая $$y = x - 1$$ через точки $(0;\ -1)$ и $(1;\ 0)$ . Знак нестрогий — прямая сплошная.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $0 \leqslant -1$ — неверно. Закрашиваем полуплоскость, где начала координат нет, — ниже прямой.

Ответ

Прямая y = x − 1 (сплошная) и полуплоскость ниже неё

Почему так

Неравенство y ≤ kx + m задаёт прямую y = kx + m и полуплоскость под ней.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством $y > \dfrac{1}{4}x - 1$ .

Решение

Граница — прямая $y = \dfrac{1}{4}x - 1$ через точки $(0;\ -1)$ и $(4;\ 0)$ . Знак строгий — прямая пунктиром.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $$0 > -1$$ — верно. Закрашиваем полуплоскость, содержащую начало координат, — выше прямой; сама прямая не входит.

Ответ

Открытая полуплоскость выше прямой y = x/4 − 1 (прямая пунктиром)

Почему так

Строгий знак — граница не входит в множество и рисуется пунктиром.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Изобразите на координатной плоскости множество точек, заданное неравенством $y < \dfrac{1}{3}x - 3$ .

Решение

Граница — прямая $y = \dfrac{1}{3}x - 3$ через точки $(0;\ -3)$ и $(9;\ 0)$ (или $(3;\ -2)$ ). Знак строгий — прямая пунктиром.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $$0 < -3$$ — неверно. Закрашиваем полуплоскость без начала координат — ниже прямой; сама прямая не входит.

Ответ

Открытая полуплоскость ниже прямой y = x/3 − 3 (прямая пунктиром)

Почему так

Строгий знак — граница пунктиром; сторону выбирают по контрольной точке.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки