Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 452 к § 23

§ 23. Неравенства с двумя переменными · тема: Неравенства с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $y \leqslant x^2 - 4$ .

Решение

Граница — парабола $$y = x^2 - 4$$ : ветви вверх, вершина $(0;\ -4)$ , пересечения с осью $$x$$ — точки $(-2;\ 0)$ и $(2;\ 0)$ , ещё точки $(\pm 3;\ 5)$ . Знак нестрогий — парабола сплошная.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ (она внутри «чаши» параболы): $0 \leqslant -4$ — неверно. Значит, подходят точки параболы и точки ниже неё (снаружи «чаши»).

Ответ

Парабола y = x² − 4 и точки ниже неё

Почему так

Неравенство y ≤ f(x) задаёт график y = f(x) и всё, что под ним.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $y \geqslant (x - 2)^2 - 1$ .

Решение

Граница — парабола $$y = (x - 2)^2 - 1$$ : это $$y = x^2$$ , сдвинутая на 2 вправо и на 1 вниз. Вершина $(2;\ -1)$ , нули $$x = 1$$ и $$x = 3$$ , точка $(0;\ 3)$ . Знак нестрогий — сплошная линия.

Контрольная точка $(2;\ 0)$ даёт $0 \geqslant -1$ — верно. Подходят точки параболы и выше неё (внутри «чаши»).

Ответ

Парабола y = (x − 2)² − 1 и точки выше неё

Почему так

Неравенство y ≥ f(x) задаёт график y = f(x) и всё, что над ним.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $x^2 + y^2 \leqslant 25$ .

Решение

Граница — окружность $$x^2 + y^2 = 25$$ с центром $O(0;\ 0)$ и радиусом 5. Знак нестрогий — сплошная линия.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $0 \leqslant 25$ — верно. Закрашиваем внутренность круга вместе с окружностью.

Ответ

Круг с центром (0; 0) и радиусом 5 вместе с окружностью

Почему так

Неравенство x² + y² ≤ r² задаёт круг радиуса r с центром в начале координат.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 \leqslant 4$ .

Решение

Граница — окружность $$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$$ с центром $(1;\ 2)$ и радиусом 2. Знак нестрогий — сплошная линия.

Контрольная точка — центр $(1;\ 2)$ даёт $0 + 0 \leqslant 4$ — верно. Закрашиваем круг вместе с окружностью. Круг касается оси $$y$$ в точке $(0;\ 2)$ и оси $$x$$ в точке $(1;\ 0)$ .

Ответ

Круг с центром (1; 2) и радиусом 2 вместе с окружностью

Почему так

Неравенство (x − a)² + (y − b)² ≤ r² задаёт круг с центром (a; b) и радиусом r.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки