Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 453 к § 23

§ 23. Неравенства с двумя переменными · тема: Неравенства с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $$xy < 4$$ .

Решение

Граница — гипербола $$xy = 4$$ , то есть $y = \dfrac{4}{x}$ : ветви в первой и третьей четвертях, точки $(1;\ 4)$ , $(2;\ 2)$ , $(4;\ 1)$ и симметричные им $(-1;\ -4)$ , $(-2;\ -2)$ , $(-4;\ -1)$ . Знак строгий — пунктир.

Гипербола делит плоскость на три области: над ветвью в первой четверти, под ветвью в третьей четверти и область между ветвями.

Проверим по точке в каждой: $(0;\ 0)$ — $$0 < 4$$ , верно; $(3;\ 3)$ — $$9 < 4$$ , неверно; $(-3;\ -3)$ — $$9 < 4$$ , неверно.

Подходит область между ветвями: вся вторая и четвёртая четверти, оси координат, а в первой и третьей четвертях — точки между ветвью и осями.

Ответ

Область между ветвями гиперболы y = 4/x (гипербола пунктиром), содержащая начало координат

Почему так

Гипербола делит плоскость на три части, и подходящие выбирают контрольной точкой в каждой.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) Изобразите на координатной плоскости множество решений неравенства $$xy > -6$$ .

Решение

Граница — гипербола $$xy = -6$$ , то есть $y = -\dfrac{6}{x}$ : ветви во второй и четвёртой четвертях, точки $(-1;\ 6)$ , $(-2;\ 3)$ , $(-3;\ 2)$ , $(-6;\ 1)$ и симметричные $(1;\ -6)$ , $(2;\ -3)$ , $(3;\ -2)$ , $(6;\ -1)$ . Знак строгий — пунктир.

Проверим три области: $(0;\ 0)$ — $$0 > -6$$ , верно; $(-4;\ 4)$ — $$-16 > -6$$ , неверно; $(4;\ -4)$ — $$-16 > -6$$ , неверно.

Подходит область между ветвями: вся первая и третья четверти, оси координат, а во второй и четвёртой четвертях — точки между ветвью и осями.