Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 23

Упражнение 454 к § 23

§ 23. Неравенства с двумя переменными · тема: Неравенства с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Какое множество точек задаётся неравенством $x^2 + y^2 - 6x - 4y + 13 \leqslant 0$ ?

Решение

Выделим полные квадраты: $$x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$$ , $$y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4$$ .

Получаем $(x - 3)^2 - 9 + (y - 2)^2 - 4 + 13 \leqslant 0$ , то есть $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \leqslant 0$ .

Сумма квадратов неотрицательна, нулю она равна только при $$x = 3$$ и $$y = 2$$ . Множество состоит из одной точки.

Ответ

Точка (3; 2)

Почему так

Сумма квадратов не может быть отрицательной и равна нулю, только когда оба квадрата равны нулю.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Какое множество точек задаётся неравенством $x^2 - 4x - y + 5 \geqslant 0$ ?

Решение

Выразим $$y$$ , получим $y \leqslant x^2 - 4x + 5$ , то есть $y \leqslant (x - 2)^2 + 1$ .

Граница — парабола $$y = (x - 2)^2 + 1$$ с вершиной $(2;\ 1)$ , ветви вверх, она пересекает ось $$y$$ в точке $(0;\ 5)$ . Знак нестрогий — парабола входит.

Контрольная точка $O(0;\ 0)$ даёт $0 - 0 - 0 + 5 = 5 \geqslant 0$ — верно, а $$O$$ лежит ниже параболы. Значит, это точки параболы и ниже неё.

Ответ

Точки параболы y = (x − 2)² + 1 и точки, лежащие ниже неё

Почему так

Выразив y, получаем неравенство вида y ≤ f(x) — график и область под ним.

Подробнее — в теме «Неравенства с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки