Упражнение 462 к § 24

Границы — прямые \(y = x - 3\) (через \((0;\ -3)\) и \((3;\ 0)\)) и \(y = -x + 3\) (через \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\)). Неравенства нестрогие — обе прямые сплошные.

Первое неравенство — полуплоскость выше прямой \(y = x - 3\), второе — ниже прямой \(y = -x + 3\).

Прямые пересекаются: \(x - 3 = -x + 3\), \(x = 3\), \(y = 0\).

Контрольная точка \((0;\ 0)\), подставляем: \(0 \geqslant -3\) и \(0 \leqslant 3\) — верно.

Множество решений — угол с вершиной \((3;\ 0)\), раскрытый влево (содержит начало координат), вместе со сторонами; угол прямой, так как прямые перпендикулярны (произведение угловых коэффициентов \(1 \cdot (-1) = -1\)).

Приведём неравенства к виду с \(y\): \(x - 2y < 4 \Rightarrow -2y < 4 - x \Rightarrow y > 0{,}5x - 2\) (делили на \(-2\), знак сменился); \(x + y < 3 \Rightarrow y < -x + 3\).

Границы — прямые \(y = 0{,}5x - 2\) (через \((0;\ -2)\) и \((4;\ 0)\)) и \(y = -x + 3\) (через \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\)). Неравенства строгие — обе прямые пунктирные.

Первое — полуплоскость выше первой прямой, второе — ниже второй. Точка пересечения: \(0{,}5x - 2 = -x + 3\), \(1{,}5x = 5\), \(x = \dfrac{10}{3}\), \(y = -\dfrac{1}{3}\).

Контрольная точка \((0;\ 0)\), подставляем: \(0 < 4\) и \(0 < 3\) — верно.

Множество решений — угол с вершиной \(\left(\dfrac{10}{3};\ -\dfrac{1}{3}\right)\), раскрытый влево, без сторон и вершины.

Приведём к виду с \(y\): \(-2x + y < -1 \Rightarrow y < 2x - 1\); \(x - y > 3 \Rightarrow -y > 3 - x \Rightarrow y < x - 3\).

Границы — прямые \(y = 2x - 1\) (через \((0;\ -1)\) и \((1;\ 1)\)) и \(y = x - 3\) (через \((0;\ -3)\) и \((3;\ 0)\)), обе пунктирные. Оба неравенства — полуплоскости ниже своих прямых.

Точка пересечения: \(2x - 1 = x - 3\), \(x = -2\), \(y = -5\).

Контрольная точка \((0;\ -5)\), подставляем: \(-2 \cdot 0 + (-5) = -5 < -1\) и \(0 - (-5) = 5 > 3\) — верно. Точка \((0;\ 0)\) не подходит: \(0 < -1\) неверно.

Множество решений — угол с вершиной \((-2;\ -5)\), лежащий ниже обеих прямых (правее вершины граница — прямая \(y = x - 3\), левее — прямая \(y = 2x - 1\)), без сторон и вершины.

Приведём к виду с \(y\): \(x + y \geqslant 3 \Rightarrow y \geqslant -x + 3\); \(x - y < 2 \Rightarrow y > x - 2\).

Границы — прямая \(y = -x + 3\) (через \((0;\ 3)\) и \((3;\ 0)\)) сплошная и прямая \(y = x - 2\) (через \((0;\ -2)\) и \((2;\ 0)\)) пунктирная. Оба неравенства — полуплоскости выше своих прямых.

Точка пересечения: \(-x + 3 = x - 2\), \(x = 2{,}5\), \(y = 0{,}5\).

Контрольная точка \((0;\ 4)\), подставляем: \(4 \geqslant 3\) и \(-4 < 2\) — верно.

Множество решений — прямой угол с вершиной \((2{,}5;\ 0{,}5)\), раскрытый вверх; сторона на прямой \(y = -x + 3\) входит, сторона на прямой \(y = x - 2\) и сама вершина — нет.