Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Решение системы неравенств с двумя переменными — пара чисел, которая подходит сразу ко всем неравенствам. На координатной плоскости множество решений системы — это общая часть (пересечение) фигур, которые задаёт каждое неравенство.
Подробное объяснение
Представьте, что вы ищете на карте место для палатки: оно должно быть не дальше 2 км от реки и при этом выше дороги. Каждое условие отмечает на карте свою зону, а подходящее место — там, где зоны перекрываются. Так же устроена система неравенств с двумя переменными.
Что такое решение системы
Возьмём систему \(\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 25, \\ x - y > 1. \end{cases}\) Пара \((3;\ 1)\) подходит к обоим неравенствам: \(9 + 1 = 10 \leqslant 25\) и \(3 - 1 = 2 > 1\). Это решение системы. Пара \((1;\ 1)\) подходит к первому, но не ко второму (\(0 > 1\) — неверно), поэтому решением системы не является.
Каждое неравенство с двумя переменными задаёт на плоскости фигуру: линейное \(y > kx + b\) — полуплоскость, неравенство \(x^2 + y^2 \leqslant r^2\) — круг, \(y \geqslant x^2\) — внутреннюю область параболы. Множество решений системы — пересечение этих фигур, то есть только те точки, которые принадлежат всем фигурам сразу.
Две линейные границы
Чаще всего в системе два линейных неравенства. Тогда возможны случаи:
- прямые пересекаются — общая часть полуплоскостей обычно угол с вершиной в точке пересечения;
- прямые параллельны — получается полоса между ними, одна из полуплоскостей целиком (если одна лежит внутри другой) или пустое множество — решений нет;
- прямые совпадают, а знаки неравенств нестрогие и «смотрят» навстречу (\(y \geqslant 2x\) и \(y \leqslant 2x\)) — решения образуют саму прямую.
Граница рисуется сплошной линией, если неравенство нестрогое (\(\leqslant\), \(\geqslant\)), и пунктиром, если строгое (\(<\), \(>\)) — тогда точки границы не входят в решение. Вершина угла входит в решение, только если она лежит на обеих сплошных границах.
Обратная задача: задать фигуру системой
Иногда фигура уже нарисована, а систему нужно составить. Для многоугольника пишут уравнение прямой, на которой лежит каждая сторона, а знак неравенства выбирают по любой точке внутри фигуры. Для круга с центром \((a;\ b)\) и радиусом \(r\) пишут \((x - a)^2 + (y - b)^2 \leqslant r^2\), для внешней части — знак \(\geqslant\).
Как решать задачи
- Для каждого неравенства запишите уравнение границы: замените знак неравенства на «=». Линейное неравенство удобно привести к виду \(y > kx + b\) или \(y < kx + b\).
- Постройте все границы: сплошные — для нестрогих неравенств, пунктирные — для строгих.
- Для каждого неравенства определите нужную сторону: \(y > kx + b\) — выше прямой, \(y < kx + b\) — ниже; для круга — внутри или снаружи. Если сомневаетесь, подставьте контрольную точку, например \((0;\ 0)\), если она не на границе.
- Найдите общую часть всех областей и выделите её. Назовите фигуру: угол, полоса, треугольник, сегмент, кольцо.
- Проверьте ответ точкой из найденной области — она должна удовлетворять каждому неравенству системы.
- В обратной задаче: найдите уравнения всех границ, подставьте внутреннюю точку фигуры и поставьте знаки, которые для неё верны; если граница входит в фигуру — знак нестрогий.
Разобранные примеры
Является ли пара решением системы
Является ли пара чисел \((-1;\ 3)\) решением системы \(\begin{cases} y - x^2 > 1, \\ 2x + y \leqslant 0? \end{cases}\)
Подставим \(x = -1\), \(y = 3\).
Первое неравенство: \(3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2\), и \(2 > 1\) — верно.
Второе: \(2 \cdot (-1) + 3 = 1\), и \(1 \leqslant 0\) — неверно.
Пара не подходит ко второму неравенству, значит, решением системы она не является.
Изобразите множество решений системы
Изобразите на координатной плоскости множество решений системы \(\begin{cases} y \geqslant 0{,}5x - 1, \\ y \leqslant -x + 5. \end{cases}\)
Границы — прямые \(y = 0{,}5x - 1\) (через \((0;\ -1)\) и \((2;\ 0)\)) и \(y = -x + 5\) (через \((0;\ 5)\) и \((5;\ 0)\)). Неравенства нестрогие, обе прямые сплошные.
Первое неравенство — полуплоскость выше первой прямой, второе — ниже второй.
Точка пересечения прямых: \(0{,}5x - 1 = -x + 5\), откуда \(1{,}5x = 6\), \(x = 4\), \(y = 1\).
Контрольная точка \((0;\ 0)\), подставляем: \(0 \geqslant -1\) и \(0 \leqslant 5\) — верно, значит, она в искомой области. Общая часть — угол с вершиной \((4;\ 1)\), раскрытый влево; стороны угла входят в решение.
Задайте треугольник системой неравенств
Задайте системой неравенств треугольник с вершинами \(A(-1;\ 0)\), \(B(5;\ 0)\), \(C(1;\ 4)\) вместе с его сторонами.
Сторона \(AB\) лежит на оси \(x\): \(y = 0\).
Прямая \(AC\): угловой коэффициент \(k = \dfrac{4 - 0}{1 - (-1)} = 2\), через \(A\): \(0 = 2 \cdot (-1) + b\), \(b = 2\), то есть \(y = 2x + 2\).
Прямая \(BC\): \(k = \dfrac{4 - 0}{1 - 5} = -1\), через \(B\): \(0 = -5 + b\), \(b = 5\), то есть \(y = -x + 5\).
Внутренняя точка \((1;\ 1)\), подставляем: \(1 \geqslant 0\), \(1 \leqslant 2 \cdot 1 + 2\), \(1 \leqslant -1 + 5\). Стороны входят — знаки нестрогие:
Типичные ошибки
Решение системы должно удовлетворять всем неравенствам сразу. Точка, которая лежит только в одной из закрашенных областей, нарушает другое неравенство.
Закрашивайте каждую область своей штриховкой, а в ответ берите только место, где штриховки накладываются. Проверьте точку из ответа подстановкой в каждое неравенство.
Неравенство \(x - 2y < 4\) выглядит как «меньше», и его закрашивают ниже прямой. Но при выражении \(y\) делят на \(-2\), и знак меняется: \(y > 0{,}5x - 2\) — это полуплоскость выше прямой.
Приводите неравенство к виду \(y > kx + b\) или \(y < kx + b\), помня о смене знака при делении на отрицательное число, — или просто проверьте сторону контрольной точкой, например \((0;\ 0)\).
При строгом неравенстве точки прямой ему не удовлетворяют. Если нарисовать границу сплошной, в ответ попадут лишние точки, а вершина угла на пунктирной границе окажется «включённой».
Сплошная линия — для \(\leqslant\) и \(\geqslant\), пунктирная — для \(<\) и \(>\). Точка на границе входит в решение, только если все неравенства, на границах которых она лежит, нестрогие.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Что является множеством решений системы неравенств с двумя переменными?
Показать ответ
Ответ: Б) Пересечение множеств решений неравенств
Решение системы удовлетворяет каждому неравенству, то есть принадлежит всем их множествам решений одновременно.
-
Какую фигуру задаёт система \(\begin{cases} y \leqslant 3x + 1, \\ y \geqslant 3x - 2? \end{cases}\)
Показать ответ
Ответ: В) Полосу
Прямые \(y = 3x + 1\) и \(y = 3x - 2\) параллельны, точки ниже верхней и выше нижней образуют полосу.
-
Какие пары чисел — решения системы \(\begin{cases} x + y > 2, \\ x - y < 1? \end{cases}\)
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: Б) (1; 2); В) (3; 3)
Для \((2;\ 1)\) второе неравенство даёт \(1 < 1\) — неверно; для \((0;\ 0)\) неверно первое; \((1;\ 2)\) и \((3;\ 3)\) подходят к обоим.
-
Сколько точек с целыми координатами удовлетворяют системе \(x \geqslant 0\), \(y \geqslant 0\), \(x + y \leqslant 2\)?
Показать ответ
Ответ: 6
Подходят \((0;\ 0)\), \((1;\ 0)\), \((2;\ 0)\), \((0;\ 1)\), \((1;\ 1)\), \((0;\ 2)\) — всего 6 точек.
-
Какую фигуру задаёт система \(\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 9, \\ x^2 + y^2 \geqslant 4? \end{cases}\)
Показать ответ
Ответ: Б) Кольцо между окружностями радиусов 2 и 3
Первое неравенство — круг радиусом 3, второе — точки вне круга радиусом 2 (и на его границе); общая часть — кольцо.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Является ли пара чисел \((2;\ -1)\) решением системы \(\begin{cases} x^2 + y \geqslant 3, \\ x - y < 4? \end{cases}\)
Подсказка
Подставьте \(x = 2\), \(y = -1\) в каждое неравенство.
Решение
Первое неравенство: \(2^2 + (-1) = 3\), и \(3 \geqslant 3\) — верно (неравенство нестрогое).
Второе: \(2 - (-1) = 3\), и \(3 < 4\) — верно.
Оба неравенства верны, значит, пара — решение системы.
Ответ
Задайте системой неравенств вторую координатную четверть, включая оси координат.
Подсказка
Какие знаки у абсциссы и ординаты точек второй четверти?
Решение
Во второй четверти абсцисса отрицательна, а ордината положительна. Оси включаем, поэтому неравенства нестрогие:
Ответ
Изобразите на координатной плоскости множество решений системы \(\begin{cases} y > x + 1, \\ y < x + 4. \end{cases}\)
Подсказка
Сравните угловые коэффициенты прямых.
Решение
Границы — прямые \(y = x + 1\) и \(y = x + 4\). Угловые коэффициенты равны, значит, прямые параллельны; вторая выше первой на 3.
Первое неравенство — полуплоскость выше прямой \(y = x + 1\), второе — ниже прямой \(y = x + 4\). Общая часть — полоса между прямыми.
Неравенства строгие, поэтому обе прямые рисуем пунктиром — они в решение не входят. Проверка точкой \((0;\ 2)\), подставляем: \(2 > 1\) и \(2 < 4\) — верно, точка в полосе.
Ответ
Найдите площадь фигуры, заданной системой \(\begin{cases} y \geqslant 0, \\ y \leqslant x + 2, \\ y \leqslant -x + 2. \end{cases}\)
Подсказка
Найдите вершины фигуры — точки пересечения границ.
Решение
Прямые \(y = x + 2\) и \(y = -x + 2\) пересекают ось \(x\) в точках \((-2;\ 0)\) и \((2;\ 0)\), а друг друга — в точке \((0;\ 2)\).
Точка \((0;\ 1)\) удовлетворяет всем трём неравенствам, значит, фигура — треугольник с этими вершинами.
Основание — 4, высота — 2: \(S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\).
Ответ
При каком значении \(b\) система \(\begin{cases} y \geqslant 2x + b, \\ y \leqslant 2x - 3 \end{cases}\) задаёт на плоскости прямую?
Подсказка
Прямые \(y = 2x + b\) и \(y = 2x - 3\) параллельны. Когда точка может быть одновременно не ниже одной и не выше другой?
Решение
Угловые коэффициенты обеих прямых равны 2, прямые параллельны или совпадают.
Точка должна лежать не ниже прямой \(y = 2x + b\) и не выше прямой \(y = 2x - 3\). Если \(b < -3\), получаем полосу; если \(b > -3\), решений нет; если \(b = -3\), остаются только точки самой прямой \(y = 2x - 3\).
Ответ
Задайте системой неравенств треугольник с вершинами \((0;\ 0)\), \((4;\ 0)\) и \((4;\ 4)\), включая его стороны.
Подсказка
Запишите уравнения трёх сторон и выберите знаки по точке внутри треугольника.
Решение
Стороны лежат на прямых \(y = 0\), \(x = 4\) и \(y = x\) (через \((0;\ 0)\) и \((4;\ 4)\)).
Внутренняя точка \((3;\ 1)\), подставляем: \(1 \geqslant 0\), \(3 \leqslant 4\), \(1 \leqslant 3\). Знаки берём такие же, нестрогие — стороны входят:
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Возьмите лист в клетку и нарисуйте оси. Попросите ребёнка цветным карандашом заштриховать всё, что выше одной прямой, а другим цветом — всё, что ниже другой. Решения системы — там, где цвета смешались. Затем выберите точку в этом месте и вместе подставьте её координаты в оба неравенства.
Вопросы для проверки понимания: 1) Чем решение системы отличается от решения одного неравенства? 2) Когда две полуплоскости дают полосу, а когда — угол? 3) Как по рисунку треугольника записать систему неравенств?
На что обратить внимание. Ребёнок должен проверять сторону контрольной точкой, а не «на глаз», и различать сплошные и пунктирные границы. Если путается со знаком, попросите выразить \(y\) и вспомнить правило смены знака при делении на отрицательное число.