Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 24

Упражнение 465 к § 24

§ 24. Системы неравенств с двумя переменными · тема: Системы неравенств с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы $y \geqslant x^2$ , $y \leqslant 4$ .

Решение

Первое неравенство — точки на параболе $$y = x^2$$ и выше неё (внутри «чаши»). Второе — точки на прямой $$y = 4$$ и ниже неё. Обе границы сплошные.

Прямая пересекает параболу при $$x^2 = 4$$ , то есть в точках $(-2;\ 4)$ и $(2;\ 4)$ .

Общая часть — параболический сегмент: область между дугой параболы от $(-2;\ 4)$ через $(0;\ 0)$ до $(2;\ 4)$ и отрезком прямой $$y = 4$$ . Контрольная точка $(0;\ 1)$ , подставляем: $1 \geqslant 0$ и $1 \leqslant 4$ — верно.

Ответ

Часть плоскости между параболой y = x² и прямой y = 4 (от x = −2 до x = 2) вместе с границами

Почему так

Неравенство y ≥ x² задаёт область над параболой, y ≤ 4 — под прямой; решение — их общая часть.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы $x^2 + y^2 \leqslant 4$ , $x - y \geqslant 0$ .

Решение

Первое неравенство — круг с центром $(0;\ 0)$ радиусом 2 вместе с окружностью.

Второе: $x - y \geqslant 0 \Rightarrow y \leqslant x$ — полуплоскость ниже прямой $$y = x$$ вместе с прямой.

Прямая $$y = x$$ проходит через центр круга и делит его пополам; она пересекает окружность в точках $(\sqrt{2};\ \sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2};\ -\sqrt{2})$ .

Контрольная точка $(1;\ 0)$ , подставляем: $1 \leqslant 4$ , $1 \geqslant 0$ — верно. Множество решений — полукруг ниже прямой $$y = x$$ (правее и ниже неё), с границами.

Ответ

Полукруг круга x² + y² ≤ 4, лежащий ниже прямой y = x, вместе с границей

Почему так

Прямая через центр делит круг на два полукруга; нужный выбирают контрольной точкой.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы $x^2 + y^2 \leqslant 9$ , $(x - 3)^2 + y^2 \leqslant 9$ .

Решение

Первое неравенство — круг с центром $(0;\ 0)$ радиусом 3, второе — круг с центром $(3;\ 0)$ радиусом 3; окружности входят.

Окружности пересекаются там, где $$x^2 = (x - 3)^2$$ , то есть при $$x = 1{,}5$$ ; тогда $y^2 = 9 - 2{,}25 = 6{,}75$ , $y = \pm\dfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx \pm 2{,}6$ .

Общая часть — фигура в форме линзы: ограничена дугой первой окружности справа и дугой второй слева, «уголки» в точках $(1{,}5;\ \pm 2{,}6)$ . Контрольная точка $(1{,}5;\ 0)$ подходит к обоим неравенствам.

Ответ

Общая часть двух кругов радиусом 3 с центрами (0; 0) и (3; 0) — «линза» между точками (1,5; ±3√3/2), с границей

Почему так

Множество решений системы — пересечение кругов, заданных её неравенствами.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Изобразите на координатной плоскости множество решений системы $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \geqslant 1$ , $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 \leqslant 9$ .

Решение

Обе окружности имеют центр $(2;\ -1)$ , радиусы 1 и 3.

Первое неравенство — точки на окружности радиусом 1 и вне её, второе — точки круга радиусом 3.

Общая часть — кольцо между окружностями радиусов 1 и 3 с центром $(2;\ -1)$ , обе окружности входят. Контрольная точка $(2;\ 1)$ , подставляем: $$0 + 4 = 4$$ , и $1 \leqslant 4 \leqslant 9$ — верно.

Ответ

Кольцо с центром (2; −1) между окружностями радиусов 1 и 3, обе окружности входят

Почему так

Неравенство (x − a)² + (y − b)² ≤ r² задаёт круг, а со знаком ≥ — его внешнюю часть.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки