Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 24

Упражнение 466 к § 24

§ 24. Системы неравенств с двумя переменными · тема: Системы неравенств с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Задача-исследование. При каких $$k$$ и $$b$$ система $y \leqslant 3x - 1$ , $y \geqslant kx + b$ задаёт полосу?

Решение

Первое неравенство — полуплоскость ниже прямой $$y = 3x - 1$$ , второе — выше прямой $$y = kx + b$$ (границы входят).

Полоса получается, когда прямые параллельны и нижняя граница $$y = kx + b$$ лежит ниже верхней $$y = 3x - 1$$ .

Параллельность: $$k = 3$$ . Прямая $$y = 3x + b$$ ниже прямой $$y = 3x - 1$$ , если $$b < -1$$ .

Ответ

k = 3, b < −1

Почему так

Две полуплоскости дают полосу, если их граничные прямые параллельны и полуплоскости «смотрят» друг на друга.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Задача-исследование. При каких $$k$$ и $$b$$ система $y \leqslant 3x - 1$ , $y \geqslant kx + b$ задаёт угол?

Решение

Угол получается, когда прямые $$y = 3x - 1$$ и $$y = kx + b$$ пересекаются, то есть угловые коэффициенты различны: $k \ne 3$ .

Тогда при любом $$b$$ точки ниже первой прямой и выше второй образуют угол с вершиной в точке пересечения прямых. Например, при $$k = 0$$ , $$b = 0$$ — угол между прямыми $$y = 3x - 1$$ и $$y = 0$$ с вершиной $\left(\dfrac{1}{3};\ 0\right)$ .

Ответ

k ≠ 3, b — любое число

Почему так

Пересекающиеся граничные прямые делят плоскость на четыре угла, система выделяет один из них.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Задача-исследование. При каких $$k$$ и $$b$$ система $y \leqslant 3x - 1$ , $y \geqslant kx + b$ задаёт прямую?

Решение

Точки, которые одновременно не выше прямой $$y = 3x - 1$$ и не ниже прямой $$y = kx + b$$ , образуют прямую только тогда, когда прямые совпадают: $$k = 3$$ , $$b = -1$$ .

Тогда система равносильна равенству $$y = 3x - 1$$ .

Ответ

k = 3, b = −1

Почему так

Система «y ≤ f и y ≥ f» с одной и той же границей задаёт саму границу.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 4

Условие (кратко)

Может ли система $y \leqslant 3x - 1$ , $y \geqslant kx + b$ не иметь решений? Приведите пример.

Решение

Может. Если $$k = 3$$ и $$b > -1$$ , прямая $$y = 3x + b$$ параллельна прямой $$y = 3x - 1$$ и лежит выше неё.

Тогда нужно $3x + b \leqslant y \leqslant 3x - 1$ , а это невозможно, так как $$3x + b > 3x - 1$$ .

Пример: $\begin{cases} y \leqslant 3x - 1, \\ y \geqslant 3x + 2 \end{cases}$ — решений нет.

Ответ

Может — при k = 3 и b > −1, например y ≤ 3x − 1, y ≥ 3x + 2

Почему так

Полуплоскости с параллельными границами, «смотрящие» в разные стороны, не пересекаются.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки