Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 24

Упражнение 467 к § 24

§ 24. Системы неравенств с двумя переменными · тема: Системы неравенств с двумя переменными

Задача 1

Условие (кратко)

а) Задайте системой неравенств треугольник с рисунка 65, а: вершины $(-2;\ 0)$ , $(2;\ 0)$ и $(0;\ 3)$ , внутренность заштрихована.

Решение

На рисунке — треугольник с основанием на оси $$x$$ от $$-2$$ до $$2$$ и вершиной $(0;\ 3)$ на оси $$y$$ .

Левая сторона через $(-2;\ 0)$ и $(0;\ 3)$ , подставляем: $k = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$ , $$y = 1{,}5x + 3$$ .

Правая сторона через $(2;\ 0)$ и $(0;\ 3)$ , подставляем: $$k = -1{,}5$$ , $$y = -1{,}5x + 3$$ .

Основание: $$y = 0$$ .

Внутренняя точка $(0;\ 1)$ , подставляем: $1 \leqslant 3$ , $1 \leqslant 3$ , $1 \geqslant 0$ . Треугольник со сторонами:

\begin{cases} y \leqslant 1{,}5x + 3, \\ y \leqslant -1{,}5x + 3, \\ y \geqslant 0. \end{cases}

Ответ

y ≤ 1,5x + 3, y ≤ −1,5x + 3, y ≥ 0

Почему так

Для каждой стороны пишут уравнение её прямой, знак выбирают по точке внутри фигуры.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Задайте системой неравенств кольцо с рисунка 65, б: между окружностями с центром в начале координат радиусов 5 и 10.

Решение

На рисунке две окружности с центром $(0;\ 0)$ : внутренняя пересекает оси в точках $\pm 5$ , внешняя — в точках $\pm 10$ . Заштриховано кольцо между ними.

Круг радиусом 10: $x^2 + y^2 \leqslant 100$ . Точки вне круга радиусом 5 (и на окружности): $x^2 + y^2 \geqslant 25$ .

\begin{cases} x^2 + y^2 \geqslant 25, \\ x^2 + y^2 \leqslant 100. \end{cases}

Проверка точкой $(7;\ 0)$ , подставляем: $$49$$ лежит между 25 и 100.

Ответ

x² + y² ≥ 25, x² + y² ≤ 100

Почему так

Окружность радиуса r с центром в начале координат — x² + y² = r²; кольцо — пересечение круга и внешности меньшего круга.

Подробнее — в теме «Системы неравенств с двумя переменными».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки