Задача 1
Условие (кратко)
а) Решить систему (x − 2y)(x + 3y) = 0, x² − y² = 12 (повышенной трудности).
Решение
Первое уравнение — произведение, равное нулю, поэтому система равносильна совокупности двух систем:
\[\begin{cases} x = 2y, \\ x^2 - y^2 = 12 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x = -3y, \\ x^2 - y^2 = 12. \end{cases}\]
В первой: \(4y^2 - y^2 = 12\), \(y^2 = 4\), \(y = \pm 2\), \(x = \pm 4\). Пары \((4;\ 2)\) и \((-4;\ -2)\).
Во второй: \(9y^2 - y^2 = 12\), \(y^2 = \dfrac{3}{2}\), \(y = \pm\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \pm\dfrac{\sqrt{6}}{2} = \pm 0{,}5\sqrt{6}\), тогда \(x = -3y = \mp 1{,}5\sqrt{6}\). Пары \((1{,}5\sqrt{6};\ -0{,}5\sqrt{6})\) и \((-1{,}5\sqrt{6};\ 0{,}5\sqrt{6})\).
Ответ
(4; 2), (−4; −2), (1,5√6; −0,5√6), (−1,5√6; 0,5√6)
Почему так
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, — система распадается на две.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».