Задача 1
Условие (кратко)
а) Решить систему x² + xy − 2y² − x + y = 0, x² + y² = 8 (повышенной трудности).
Решение
Разложим первое уравнение: \(x^2 + xy - 2y^2 = (x - y)(x + 2y)\), а \(-x + y = -(x - y)\). Получаем
\[(x - y)(x + 2y - 1) = 0.\]
Случай \(x = y\). Тогда \(2y^2 = 8\), \(y = \pm 2\). Пары \((2;\ 2)\) и \((-2;\ -2)\).
Случай \(x = 1 - 2y\). Тогда \((1 - 2y)^2 + y^2 = 8\), то есть \(5y^2 - 4y - 7 = 0\). Дискриминант \(D = 16 + 140 = 156 = 4 \cdot 39\), \(y = \dfrac{4 \pm 2\sqrt{39}}{10} = \dfrac{2 \pm \sqrt{39}}{5}\).
При \(y = \dfrac{2 - \sqrt{39}}{5}\) получаем \(x = 1 - \dfrac{4 - 2\sqrt{39}}{5} = \dfrac{1 + 2\sqrt{39}}{5}\); при \(y = \dfrac{2 + \sqrt{39}}{5}\) получаем \(x = \dfrac{1 - 2\sqrt{39}}{5}\).
Ответ
(2; 2), (−2; −2), ((1 + 2√39)/5; (2 − √39)/5), ((1 − 2√39)/5; (2 + √39)/5)
Почему так
Первое уравнение раскладывается на множители (x − y)(x + 2y − 1) = 0.
Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».