Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 474 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти все решения системы x² − 3xy + 14 = 0, 3x² + 2xy − 24 = 0 (повышенной трудности).

Решение

Уберём свободные члены: умножим первое уравнение на $$12$$ , второе на $$7$$ и сложим:

12x^2 - 36xy + 168 + 21x^2 + 14xy - 168 = 0, \quad 33x^2 - 22xy = 0, \quad 11x(3x - 2y) = 0.

Если

\(x = 0\)

, первое уравнение даёт

\(14 = 0\)

— не подходит.

Если $$y = 1{,}5x$$ , то первое уравнение даёт $x^2 - 4{,}5x^2 + 14 = 0$ , $3{,}5x^2 = 14$ , $$x^2 = 4$$ , $x = \pm 2$ , $y = \pm 3$ .

Ответ

(2; 3), (−2; −3)

Почему так

Сложение уравнений с подобранными множителями убирает свободный член и даёт уравнение, раскладывающееся на множители.

Условие (кратко)

б) Найти все решения системы 2x² − 6y = xy, 3x² − 8y = 0,5xy (повышенной трудности).

Решение

Умножим второе уравнение на $$2$$ . Тогда $$6x^2 - 16y = xy$$ . Правые части уравнений теперь равны, вычтем из него первое уравнение:

4x^2 - 10y = 0, \quad y = 0{,}4x^2.

Подставим в первое уравнение:

2x^2 - 2{,}4x^2 = 0{,}4x^3

, то есть

-0{,}4x^2 = 0{,}4x^3

\(x^2(x + 1) = 0\)

Отсюда $$x = 0$$ , $$y = 0$$ или $$x = -1$$ , $$y = 0{,}4$$ .

Ответ

(0; 0), (−1; 0,4)

Почему так

Вычитание уравнений убирает член xy, и y выражается через x.