Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 475 к § 25

§ 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными · тема: Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему x² + 3xy − 10y² = 0, x² − 4xy + 3y = 0 (повышенной трудности).

Решение

Первое уравнение однородное: $$x^2 + 3xy - 10y^2 = (x + 5y)(x - 2y) = 0$$ (корни квадратного трёхчлена относительно $t = \dfrac{x}{y}$ — числа $$-5$$ и $$2$$ ).

Случай $$x = -5y$$ . Тогда $$25y^2 + 20y^2 + 3y = 0$$ , $$3y(15y + 1) = 0$$ , $$y = 0$$ или $y = -\dfrac{1}{15}$ . Пары $(0;\ 0)$ и $\left(\dfrac{1}{3};\ -\dfrac{1}{15}\right)$ .

Случай $$x = 2y$$ . Тогда $$4y^2 - 8y^2 + 3y = 0$$ , $$y(3 - 4y) = 0$$ , $$y = 0$$ или $y = \dfrac{3}{4}$ . Пары $(0;\ 0)$ и $(1{,}5;\ 0{,}75)$ .

Ответ

(0; 0), (1/3; −1/15), (1,5; 0,75)

Почему так

Однородное уравнение раскладывается на множители (x + 5y)(x − 2y) = 0.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему x² + xy − 6y² = 0, x² + 3xy + 2y − 6 = 0 (повышенной трудности).

Решение

Первое уравнение однородное: $$x^2 + xy - 6y^2 = (x + 3y)(x - 2y) = 0$$ .

Случай $$x = -3y$$ . Тогда $$9y^2 - 9y^2 + 2y - 6 = 0$$ , $$y = 3$$ , $$x = -9$$ .

Случай $$x = 2y$$ . Тогда $$4y^2 + 6y^2 + 2y - 6 = 0$$ , $$5y^2 + y - 3 = 0$$ , $$D = 1 + 60 = 61$$ , $y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{61}}{10}$ , $x = 2y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{61}}{5}$ .

Ответ

(−9; 3), ((−1 + √61)/5; (−1 + √61)/10), (−(1 + √61)/5; −(1 + √61)/10)

Почему так

Однородное уравнение раскладывается на множители (x + 3y)(x − 2y) = 0.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки