Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 477 к § 25

§ 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными · тема: Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему x² + xy = 6, y² + xy = 3 (повышенной трудности).

Решение

Сложим уравнения: $$x^2 + 2xy + y^2 = 9$$ , $$(x + y)^2 = 9$$ , $$x + y = 3$$ или $$x + y = -3$$ .

Первое уравнение — это $$x(x + y) = 6$$ , второе — $$y(x + y) = 3$$ .

При $$x + y = 3$$ получаем $$x = 2$$ , $$y = 1$$ ; при $$x + y = -3$$ получаем $$x = -2$$ , $$y = -1$$ .

Ответ

(2; 1), (−2; −1)

Почему так

Сумма уравнений даёт полный квадрат (x + y)², а каждое уравнение — произведение с множителем x + y.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему x² − xy = 7, y² − xy = 9 (повышенной трудности).

Решение

Сложим уравнения: $$x^2 - 2xy + y^2 = 16$$ , $$(x - y)^2 = 16$$ , $$x - y = 4$$ или $$x - y = -4$$ .

Первое уравнение — это $$x(x - y) = 7$$ , второе — $$y(y - x) = 9$$ , то есть $$-y(x - y) = 9$$ .

При $$x - y = 4$$ получаем $x = \dfrac{7}{4} = 1{,}75$ , $y = -\dfrac{9}{4} = -2{,}25$ . При $$x - y = -4$$ получаем $$x = -1{,}75$$ , $$y = 2{,}25$$ .

Ответ

(1,75; −2,25), (−1,75; 2,25)

Почему так

Сумма уравнений даёт полный квадрат (x − y)², а каждое уравнение — произведение с множителем x − y.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки