Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 478 к § 25

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему x² + y² = 25, xy = 12 (повышенной трудности).

Решение

Система симметричная. $$(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 24 = 49$$ , поэтому $$x + y = 7$$ или $$x + y = -7$$ .

При $$x + y = 7$$ , $$xy = 12$$ числа $$x$$ , $$y$$ — корни $$t^2 - 7t + 12 = 0$$ , то есть $$3$$ и $$4$$ .

При $$x + y = -7$$ , $$xy = 12$$ — корни $$t^2 + 7t + 12 = 0$$ , то есть $$-3$$ и $$-4$$ .

Ответ

(3; 4), (4; 3), (−3; −4), (−4; −3)

Почему так

В симметричной системе находят сумму u = x + y и произведение v = xy, а затем x и y как корни t² − ut + v = 0.

Условие (кратко)

б) Решить систему x² + y² = 26, x + y = 6 (повышенной трудности).

Решение

Система симметричная. $$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$$ , поэтому $$36 - 2xy = 26$$ , $$xy = 5$$ .

Числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения $$t^2 - 6t + 5 = 0$$ , то есть $$1$$ и $$5$$ .

Ответ

(1; 5), (5; 1)

Почему так

Через x² + y² = (x + y)² − 2xy находим произведение, затем x и y — корни квадратного уравнения.