Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 479 к § 25

§ 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными · тема: Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти множество решений системы x² + xy + y² = 7, x + xy + y = 5 (повышенной трудности).

Решение

Пусть $$u = x + y$$ , $$v = xy$$ . Тогда $$x^2 + xy + y^2 = u^2 - v$$ , и система принимает вид

\begin{cases} u^2 - v = 7, \\ u + v = 5. \end{cases}

Сложим уравнения:

\(u^2 + u - 12 = 0\)

\(u = 3\)

или

\(u = -4\)

; соответственно

\(v = 2\)

или

\(v = 9\)

При $$u = 3$$ , $$v = 2$$ получаем $$t^2 - 3t + 2 = 0$$ , $$t = 1$$ или $$t = 2$$ — пары $(1;\ 2)$ и $(2;\ 1)$ .

При $$u = -4$$ , $$v = 9$$ уравнение $$t^2 + 4t + 9 = 0$$ имеет $$D = 16 - 36 < 0$$ — решений нет.

Ответ

(1; 2), (2; 1)

Почему так

Симметричная система решается заменой u = x + y, v = xy.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти множество решений системы x² + xy + y² = 19, x + xy + y = 1 (повышенной трудности).

Решение

Пусть $$u = x + y$$ , $$v = xy$$ . Тогда

\begin{cases} u^2 - v = 19, \\ u + v = 1. \end{cases}

Сложим уравнения:

\(u^2 + u - 20 = 0\)

\(u = 4\)

или

\(u = -5\)

; соответственно

\(v = -3\)

или

\(v = 6\)

При $$u = 4$$ , $$v = -3$$ получаем $$t^2 - 4t - 3 = 0$$ , $t = 2 \pm \sqrt{7}$ — пары $(2 + \sqrt{7};\ 2 - \sqrt{7})$ и $(2 - \sqrt{7};\ 2 + \sqrt{7})$ .

При $$u = -5$$ , $$v = 6$$ получаем $$t^2 + 5t + 6 = 0$$ , $$t = -2$$ или $$t = -3$$ — пары $(-2;\ -3)$ и $(-3;\ -2)$ .