Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 25

Упражнение 480 к § 25

§ 25. Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными · тема: Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени

Задача 1

Условие (кратко)

а) Решить систему 4x(x + y) + y² = 49, 4x(x − y) + y² = 81 (повышенной трудности).

Решение

Раскроем скобки: $$4x^2 + 4xy + y^2 = (2x + y)^2$$ и $$4x^2 - 4xy + y^2 = (2x - y)^2$$ . Система принимает вид

\begin{cases} (2x + y)^2 = 49, \\ (2x - y)^2 = 81, \end{cases}

то есть

2x + y = \pm 7

2x - y = \pm 9

. Складывая, находим

\(x\)

, вычитая —

\(y\)

при $$7$$ и $$9$$ получаем $$x = 4$$ , $$y = -1$$ ; при $$7$$ и $$-9$$ получаем $$x = -0{,}5$$ , $$y = 8$$ ; при $$-7$$ и $$9$$ получаем $$x = 0{,}5$$ , $$y = -8$$ ; при $$-7$$ и $$-9$$ получаем $$x = -4$$ , $$y = 1$$ .

Ответ

(4; −1), (−4; 1), (0,5; −8), (−0,5; 8)

Почему так

Левые части — полные квадраты (2x ± y)², и система распадается на четыре линейные.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Решить систему 3x(3x − 4y) + 4y² = 64, 3x(3x + 4y) + 4y² = 16 (повышенной трудности).

Решение

Раскроем скобки: $$9x^2 - 12xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2$$ и $$9x^2 + 12xy + 4y^2 = (3x + 2y)^2$$ . Система принимает вид

\begin{cases} (3x - 2y)^2 = 64, \\ (3x + 2y)^2 = 16, \end{cases}

то есть

3x - 2y = \pm 8

3x + 2y = \pm 4

При $$8$$ и $$4$$ получаем $$6x = 12$$ , $$x = 2$$ , $$4y = -4$$ , $$y = -1$$ . При $$8$$ и $$-4$$ получаем $x = \dfrac{2}{3}$ , $$y = -3$$ . При $$-8$$ и $$4$$ получаем $x = -\dfrac{2}{3}$ , $$y = 3$$ . При $$-8$$ и $$-4$$ получаем $$x = -2$$ , $$y = 1$$ .

Ответ

(2; −1), (−2; 1), (2/3; −3), (−2/3; 3)

Почему так

Левые части — полные квадраты (3x ± 2y)², и система распадается на четыре линейные.

Подробнее — в теме «Некоторые приёмы решения систем уравнений второй степени».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки