Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 28

Упражнение 575 к § 28

§ 28. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии · тема: Сумма первых n членов арифметической прогрессии

Задача 1

Условие (кратко)

а) Найти сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150.

Решение

Числа $1, 2, \ldots, 150$ — прогрессия с $$a_1 = 1$$ , $$d = 1$$ , $$n = 150$$ .

S_{150} = \dfrac{1 + 150}{2} \cdot 150 = 151 \cdot 75 = 11\,325.

Ответ

11 325

Почему так

Натуральные числа подряд — арифметическая прогрессия с разностью 1.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Найти сумму всех натуральных чисел от 20 до 120 включительно.

Решение

Чисел от 20 до 120 включительно $$120 - 20 + 1 = 101$$ .

S = \dfrac{20 + 120}{2} \cdot 101 = 70 \cdot 101 = 7070.

Ответ

7070

Почему так

Числа подряд — прогрессия с разностью 1; оба края входят в счёт, поэтому членов 101.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

Решение

Это числа $4, 8, \ldots, 300$ , у них $$a_1 = 4$$ , $$d = 4$$ . Из $$300 = 4 + 4(n - 1)$$ получаем $$n = 75$$ .

S_{75} = \dfrac{4 + 300}{2} \cdot 75 = 152 \cdot 75 = 11\,400.

Ответ

11 400

Почему так

Числа, кратные 4, — арифметическая прогрессия с разностью 4.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 7 и не превосходящих 130.

Решение

Наибольшее такое число — $126 = 7 \cdot 18$ (следующее, $$133$$ , больше 130). Числа $7, 14, \ldots, 126$ , у них $$a_1 = 7$$ , $$d = 7$$ , $$n = 18$$ .

S_{18} = \dfrac{7 + 126}{2} \cdot 18 = 133 \cdot 9 = 1197.

Ответ

1197

Почему так

Числа, кратные 7, — арифметическая прогрессия с разностью 7; последний член — наибольшее кратное 7, не большее 130.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки