Задача 1
Условие (кратко)
Шары уложены треугольником: в первом ряду 1 шар, во втором 2, в третьем 3 и т. д. Сколько рядов, если шаров 120? Сколько шаров нужно для 30 рядов?
Решение
Дано
- в ряду с номером \(k\) лежит \(k\) шаров
Найти
- \(n\) при \(S_n = 120\) и \(S_{30}\)
Число шаров в \(n\) рядах \(S_n = 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\).
\(\dfrac{n(n + 1)}{2} = 120\), \(n^2 + n - 240 = 0\), \(D = 1 + 960 = 961 = 31^2\), \(n = \dfrac{-1 + 31}{2} = 15\) (второй корень отрицательный).
\(S_{30} = \dfrac{30 \cdot 31}{2} = 465\).
Ответ
15 рядов; 465 шаров
Почему так
Число шаров в n рядах — сумма первых n натуральных чисел, n(n + 1)/2.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».