Задача 1
Условие (кратко)
Указать наибольшее число членов арифметической прогрессии 3, 5, 7, …, сумма которых не превосходит 120 (повышенной трудности).
Решение
\(a_1 = 3\), \(d = 2\):
\[S_n = \dfrac{6 + 2(n - 1)}{2} \cdot n = (n + 2)n.\]
Нужно \(n^2 + 2n \le 120\), то есть \(n^2 + 2n - 120 \le 0\). Корни трёхчлена: \(n = 10\) и \(n = -12\), поэтому неравенство верно при \(-12 \le n \le 10\).
Наибольшее натуральное \(n = 10\), ведь \(S_{10} = 12 \cdot 10 = 120\) — не превосходит 120, а \(S_{11} = 13 \cdot 11 = 143 > 120\).
Ответ
10
Почему так
Сумма Sₙ записывается через n, и задача сводится к квадратному неравенству в натуральных числах.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».