Задача 1
Условие (кратко)
Указать наибольшее число членов арифметической прогрессии 17, 14, 11, …, при сложении которых получается положительное число (повышенной трудности).
Решение
\(a_1 = 17\), \(d = -3\):
\[S_n = \dfrac{34 - 3(n - 1)}{2} \cdot n = \dfrac{(37 - 3n)n}{2}.\]
Так как \(n > 0\), условие \(S_n > 0\) равносильно \(37 - 3n > 0\), то есть \(n < \dfrac{37}{3} = 12\dfrac{1}{3}\).
Наибольшее натуральное \(n = 12\), ведь \(S_{12} = \dfrac{1 \cdot 12}{2} = 6 > 0\), а \(S_{13} = \dfrac{-2 \cdot 13}{2} = -13 < 0\).
Ответ
12
Почему так
Сумма Sₙ записывается через n, и условие Sₙ > 0 становится неравенством для n.
Подробнее — в теме «Сумма первых n членов арифметической прогрессии».