Задача 1
Условие (кратко)
Найдите координаты точки графика уравнения x² − y² = 30, если сумма координат равна 5.
Решение
Получаем систему
\[\begin{cases} x^2 - y^2 = 30, \\ x + y = 5. \end{cases}\]
Разложим \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = 5(x - y)\). Тогда \(5(x - y) = 30\), \(x - y = 6\).
Сложим \(x + y = 5\) и \(x - y = 6\), получим \(2x = 11\), \(x = 5{,}5\); \(y = 5 - 5{,}5 = -0{,}5\).
Проверка: \(5{,}5^2 - 0{,}5^2 = 30{,}25 - 0{,}25 = 30\).
Ответ
(5,5; −0,5)
Почему так
Разность квадратов раскладывается на множители, и система сводится к двум линейным уравнениям.
Подробнее — в теме «Решение систем уравнений с двумя переменными».