Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 3

Упражнение 52 к § 3

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать неравенство 6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a.

Решение

Найдём разность правой и левой частей:

\[(3a + 1)(2a + 1) + a - 6a(a + 1) = 6a^2 + 3a + 2a + 1 + a - 6a^2 - 6a = 1.\]

Разность равна

\(1 > 0\)

при любом

\(a\)

, значит, правая часть всегда больше левой, и неравенство верно.

Ответ

Разность правой и левой частей равна 1 > 0, неравенство верно при любом a

Почему так

Неравенство доказывают, показывая, что разность его частей имеет нужный знак.

Условие (кратко)

б) Доказать неравенство (2p − 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p.

Решение

Найдём разность левой и правой частей:

\[(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) - (4p + 3)p = 4p^2 - 1 + 3p + 3 - 4p^2 - 3p = 2.\]

Разность равна

\(2 > 0\)

при любом

\(p\)

, значит, неравенство верно.

Ответ

Разность левой и правой частей равна 2 > 0, неравенство верно при любом p

Почему так

Неравенство доказывают, показывая, что разность его частей имеет нужный знак.