Погрешность и точность приближения

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Сравнение действительных чисел

Коротко о главном

Абсолютная погрешность — насколько приближённое значение отличается от точного: модуль их разности. Если она не больше $$h$$ , пишут $x = a \pm h$ , то есть $a - h \le x \le a + h$ . Относительная погрешность — доля абсолютной погрешности от приближённого значения, обычно в процентах.

\Delta = |x - a|, \qquad \varepsilon = \dfrac{h}{|a|} \cdot 100\%

Подробное объяснение

В жизни мы почти всегда имеем дело с приближёнными числами. Термометр показывает 36,6°, хотя температура может быть 36,63°. В магазине округляют цену до рублей, а линейкой не измерить длину точнее миллиметра. Вопрос не в том, есть ли ошибка, а в том, насколько она велика.

Абсолютная погрешность

Пусть точное значение величины $$x$$ , а мы заменили его приближённым $$a$$ . Абсолютная погрешность — это модуль разности точного и приближённого значений:

\[|x - a|.\]

Модуль нужен, чтобы погрешность всегда была неотрицательной: неважно, приближение больше или меньше точного числа. Например,

\(3{,}47\)

округлили до

\(3{,}5\)

. Погрешность

\(|3{,}47 - 3{,}5| = 0{,}03\)

. На числовой оси это просто расстояние между двумя точками.

Отрезок числовой оси от 3,4 до 3,5 с делениями через 0,01. Точка 3,47 округляется до 3,5; расстояние между ними, 0,03, и есть абсолютная погрешность. — Абсолютная погрешность — расстояние между точным и приближённым значениями на числовой оси.

При округлении погрешность не превосходит половины разряда, до которого округляли: до десятых — не больше $$0{,}05$$ , до целых — не больше $$0{,}5$$ .

Точность приближения и запись a ± h

Часто точное значение неизвестно — например, когда что-то измеряют. Тогда найти погрешность нельзя, но можно указать число $$h$$ , больше которого она быть не может. Говорят: $$a$$ — приближённое значение $$x$$ с точностью до $$h$$ , и пишут

x = a \pm h.

Это значит, что

a - h \le x \le a + h

. Доска «

2{,}5 \pm 0{,}2

м» может иметь длину от

\(2{,}3\)

до

\(2{,}7\)

м.

Числовая ось с точкой a и отрезком от a − h до a + h, отмеченным синим. Точное значение x лежит на этом отрезке; пример — 2,5 ± 0,2 м, то есть от 2,3 до 2,7 м. — Запись x = a ± h означает, что a − h ≤ x ≤ a + h.

Точность измерения обычно задаёт прибор: она равна цене деления шкалы. Линейка с миллиметровыми делениями даёт точность до 1 мм, весы с делениями через 10 г — до 10 г.

Относительная погрешность

Ошибка в 1 см при измерении комнаты незаметна, а при измерении пуговицы огромна. Чтобы сравнить качество измерений, используют относительную погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Её выражают в процентах:

\dfrac{h}{|a|} \cdot 100\%.

Комната

500 \pm 1

см:

\dfrac{1}{500} \cdot 100\% = 0{,}2\%

. Пуговица

2 \pm 1

см:

50\%

. Первое измерение во много раз качественнее, хотя абсолютная погрешность одинакова.

Как решать задачи

Найти абсолютную погрешность: вычислить модуль разности точного и приближённого значений (из большего вычесть меньшее).
Найти границы по записи $a \pm h$ : нижняя граница $$a - h$$ , верхняя $$a + h$$ , обе входят.
Проверить, подходит ли значение: оно должно лежать между $$a - h$$ и $$a + h$$ .
Если погрешность дана в процентах ( $a \pm p\%$ ), сначала перевести её в абсолютную: $h = a \cdot \dfrac{p}{100}$ .
Найти относительную погрешность: разделить абсолютную погрешность (или точность $$h$$ ) на модуль приближённого значения и умножить на $100\%$ .
Сравнить качество измерений — только по относительной погрешности: чем она меньше, тем измерение лучше.

Разобранные примеры

База

Округление и погрешность

Условие

Округлите число $$7{,}846$$ до десятых и найдите абсолютную погрешность.

Решение

Цифра сотых — 4, она меньше 5, поэтому $7{,}846 \approx 7{,}8$ .

Абсолютная погрешность: $$|7{,}846 - 7{,}8| = 0{,}046$$ .

Ответ: 7,8; абсолютная погрешность 0,046

Средний

Встанет ли шкаф в нишу

Условие

Ширина шкафа по паспорту $80 \pm 0{,}5$ см. Ниша в стене шириной $$80{,}4$$ см. Можно ли гарантировать, что шкаф в неё встанет?

Дано

ширина шкафа $w = 80 \pm 0{,}5$ см
ширина ниши $$80{,}4$$ см

Найти

верно ли
что $w \le 80{,}4$ при любом допустимом $$w$$

Решение

Границы ширины шкафа: $80 - 0{,}5 \le w \le 80 + 0{,}5$ , то есть $79{,}5 \le w \le 80{,}5$ .

Наибольшая возможная ширина $$80{,}5$$ см больше $$80{,}4$$ см. Значит, шкаф может оказаться шире ниши.

Ответ: Гарантировать нельзя: шкаф может иметь ширину до 80,5 см

Сложный

Какое измерение качественнее

Условие

Длину беговой дорожки измерили как $1500 \pm 10$ м, а диаметр монеты — как $2{,}3 \pm 0{,}1$ см. Какое измерение выполнено качественнее?

Дано

$$a_1 = 1500$$ м
$$h_1 = 10$$ м; $a_2 = 2{,}3$ см
$h_2 = 0{,}1$ см

Найти

относительные погрешности

Решение

Дорожка: $\dfrac{10}{1500} \cdot 100\% \approx 0{,}67\%$ .

Монета: $\dfrac{0{,}1}{2{,}3} \cdot 100\% \approx 4{,}3\%$ .

Относительная погрешность у дорожки меньше, хотя её абсолютная погрешность (10 м) в тысячи раз больше, чем у монеты.

Ответ: Качественнее измерена дорожка: около 0,67% против 4,3%

Типичные ошибки

Погрешность получается отрицательной

Почему неверно

Ученик вычитает из приближённого значения точное: $$2{,}4 - 2{,}47 = -0{,}07$$ — и так и пишет в ответ. Но абсолютная погрешность — модуль разности, она не бывает отрицательной.

Как правильно

Брать модуль или вычитать из большего числа меньшее: $$|2{,}47 - 2{,}4| = 0{,}07$$ .

Сравнивают точность по абсолютной погрешности

Почему неверно

Кажется, что измерение « $\pm 0{,}1$ см» всегда лучше, чем « $\pm 1$ см». Но $$0{,}1$$ см при длине $$0{,}5$$ см — это $20\%$ , а $$1$$ см при длине $$1000$$ см — всего $0{,}1\%$ .

Как правильно

Качество измерений сравнивать по относительной погрешности: делить погрешность на само значение и переводить в проценты.

Путают проценты и абсолютную погрешность

Почему неверно

В записи « $500 \text{ г} \pm 2\%$ » пишут границы $$498$$ и $$502$$ г, считая $2\%$ граммами.

Как правильно

Сначала найти $2\%$ от $$500$$ — это $500 \cdot 0{,}02 = 10$ г. Границы — от $$490$$ до $$510$$ г.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Округлите число $$5{,}382$$ до сотых и найдите абсолютную погрешность полученного приближения.

Подсказка

Сначала округлите, потом из большего числа вычтите меньшее.

Решение

Третья цифра после запятой — 2, она меньше 5, поэтому $5{,}382 \approx 5{,}38$ .

Абсолютная погрешность: $$|5{,}382 - 5{,}38| = 0{,}002$$ .

Ответ

5,38; погрешность 0,002

База Задача 2

На пачке крупы написано, что её масса $900 \pm 15$ г. В каких границах заключена масса $$m$$ крупы?

Подсказка

Запись $a \pm h$ означает, что число лежит от $$a - h$$ до $$a + h$$ .

Решение

$900 - 15 \le m \le 900 + 15$ , то есть $885 \le m \le 915$ .

Ответ

885 ≤ m ≤ 915 (в граммах)

Средний Задача 3

При расчёте дробь $\dfrac{2}{3}$ заменили числом $$0{,}67$$ . Найдите абсолютную погрешность этого приближения.

Подсказка

Запишите $$0{,}67$$ обыкновенной дробью и приведите к общему знаменателю.

Решение

$0{,}67 = \dfrac{67}{100} = \dfrac{201}{300}$ , $\dfrac{2}{3} = \dfrac{200}{300}$ .

$\left|\dfrac{2}{3} - 0{,}67\right| = \left|\dfrac{200}{300} - \dfrac{201}{300}\right| = \dfrac{1}{300}$ .

Ответ

1/300

Средний Задача 4

Длину коридора измерили с точностью до 2 см и получили 250 см. Оцените относительную погрешность измерения.

Подсказка

Относительная погрешность — это абсолютная погрешность, делённая на приближённое значение, в процентах.

Решение

Абсолютная погрешность не больше 2 см, поэтому относительная не больше

\dfrac{2}{250} \cdot 100\% = 0{,}8\%.

Ответ

Не больше 0,8%

Сложный Задача 5

Ширину стола измерили как $120 \pm 0{,}5$ см, а длину ластика — как $4 \pm 0{,}1$ см. Какое измерение качественнее? Сравните относительные погрешности.

Подсказка

Не сравнивайте 0,5 и 0,1 напрямую — найдите, какую долю составляет погрешность от измеренной величины.

Решение

Стол: $\dfrac{0{,}5}{120} \cdot 100\% \approx 0{,}42\%$ .

Ластик: $\dfrac{0{,}1}{4} \cdot 100\% = 2{,}5\%$ .

Относительная погрешность у стола примерно в 6 раз меньше, значит, ширина стола измерена качественнее, хотя абсолютная погрешность у него больше.

Ответ

Качественнее измерена ширина стола (около 0,42% против 2,5%)

Сложный Задача 6

После округления до десятых получилось число $$4{,}3$$ . Какими могли быть исходные числа? Какую наибольшую абсолютную погрешность даёт такое округление?

Подсказка

До $$4{,}3$$ округляются все числа, которые ближе к $$4{,}3$$ , чем к $$4{,}2$$ и $$4{,}4$$ .

Решение

До $$4{,}3$$ округляются числа $$x$$ , для которых $4{,}25 \le x < 4{,}35$ : число $$4{,}25$$ по правилу округляется вверх, а $$4{,}35$$ — уже до $$4{,}4$$ .

Расстояние от $$4{,}3$$ до любого такого числа не больше $$0{,}05$$ . Значит, округление до десятых даёт абсолютную погрешность не больше $$0{,}05$$ — половины разряда, до которого округляли.

Ответ

4,25 ≤ x < 4,35; погрешность не больше 0,05

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите линейку и попросите ребёнка измерить ширину телефона. Он скажет, например, «7,1 см». Спросите: а точно ли 7,1, а не 7,13? Линейка точнее миллиметра не покажет — значит, «7,1 с точностью до 0,1 см», или $7{,}1 \pm 0{,}1$ см. Затем измерьте той же линейкой длину стола: ошибка в 1 мм осталась той же, но для стола она почти незаметна — это и есть разница между абсолютной и относительной погрешностью.

Вопросы для проверки понимания: 1) Что значит запись $x = 10 \pm 0{,}3$ , какие значения может принимать $$x$$ ? 2) Почему погрешность не может быть отрицательной? 3) Ошибка в 1 см — это много или мало? (Ответ: зависит от того, что мерили.)

На что обратить внимание. Границы $$a - h$$ и $$a + h$$ входят в допустимый промежуток. Относительную погрешность делят на приближённое значение и не забывают умножить на 100%, если нужен ответ в процентах.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 3	37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53