Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 3

Упражнение 53 к § 3

Задача 1

Условие (кратко)

а) Разность корней уравнения x² − 8x + q = 0 равна 16. Найти q.

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 8$$ , $$x_1 x_2 = q$$ . По условию $$x_1 - x_2 = 16$$ .

Сложим равенства: $$2x_1 = 24$$ , $$x_1 = 12$$ ; тогда $$x_2 = 8 - 12 = -4$$ .

$q = x_1 x_2 = 12 \cdot (-4) = -48$ .

Проверка: $$x^2 - 8x - 48 = 0$$ , корни $$12$$ и $$-4$$ , их разность $$16$$ .

Ответ

q = −48

Почему так

По теореме Виета сумма корней приведённого квадратного уравнения равна −p, а произведение — q.

Условие (кратко)

б) Сумма квадратов корней уравнения x² − 7x + q = 0 равна 29. Найти q.

Решение

По теореме Виета $$x_1 + x_2 = 7$$ , $$x_1 x_2 = q$$ .

$$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 49 - 2q$$ .

По условию $$49 - 2q = 29$$ , откуда $$q = 10$$ .

Проверка: $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ имеет корни $$2$$ и $$5$$ (дискриминант $$49 - 40 = 9 > 0$$ ), и $$2^2 + 5^2 = 29$$ .

Ответ

q = 10

Почему так

Сумму квадратов корней выражают через сумму и произведение корней по теореме Виета.