Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 30

Упражнение 618 к § 30

§ 30. Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии · тема: Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) Доказать, что последовательность bₙ = 0,2 · 5ⁿ — геометрическая прогрессия, и найти сумму первых n её членов.

Решение

Отношение соседних членов: $\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{0{,}2 \cdot 5^{n+1}}{0{,}2 \cdot 5^n} = 5$ — одно и то же число при любом $$n$$ , и члены не равны нулю. Значит, это геометрическая прогрессия с $$q = 5$$ , $b_1 = 0{,}2 \cdot 5 = 1$ .

S_n = \dfrac{1 \cdot (5^n - 1)}{5 - 1} = \dfrac{5^n - 1}{4}.

Проверка: при

\(n = 3\)

получаем

1 + 5 + 25 = 31 = \dfrac{125 - 1}{4}

Ответ

Sₙ = (5ⁿ − 1)/4

Почему так

Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение bₙ₊₁ к bₙ постоянно и члены не равны нулю.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 2

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) Доказать, что последовательность bₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹ — геометрическая прогрессия, и найти сумму первых n её членов.

Решение

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = 2$ при любом $$n$$ , члены не равны нулю — это геометрическая прогрессия с $$q = 2$$ , $b_1 = 3 \cdot 2^0 = 3$ .

S_n = \dfrac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1) = 3 \cdot 2^n - 3.

Ответ

Sₙ = 3(2ⁿ − 1)

Почему так

Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение bₙ₊₁ к bₙ постоянно и члены не равны нулю.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 3

Условие (кратко)

в) (Для работы в парах.) Доказать, что последовательность bₙ = 3¹⁺ⁿ — геометрическая прогрессия, и найти сумму первых n её членов.

Решение

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{3^{n+2}}{3^{n+1}} = 3$ при любом $$n$$ , члены не равны нулю — это геометрическая прогрессия с $$q = 3$$ , $$b_1 = 3^2 = 9$$ .

S_n = \dfrac{9(3^n - 1)}{3 - 1} = \dfrac{9(3^n - 1)}{2}.

Проверка: при

\(n = 2\)

получаем

9 + 27 = 36 = \dfrac{9 \cdot 8}{2}

Ответ

Sₙ = 9(3ⁿ − 1)/2

Почему так

Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение bₙ₊₁ к bₙ постоянно и члены не равны нулю.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 4

Условие (кратко)

г) (Для работы в парах.) Доказать, что последовательность bₙ = 2ⁿ⁺² — геометрическая прогрессия, и найти сумму первых n её членов.

Решение

$\dfrac{b_{n+1}}{b_n} = \dfrac{2^{n+3}}{2^{n+2}} = 2$ при любом $$n$$ , члены не равны нулю — это геометрическая прогрессия с $$q = 2$$ , $$b_1 = 2^3 = 8$$ .

S_n = \dfrac{8(2^n - 1)}{2 - 1} = 8(2^n - 1) = 2^{n+3} - 8.

Ответ

Sₙ = 8(2ⁿ − 1)

Почему так

Последовательность — геометрическая прогрессия, если отношение bₙ₊₁ к bₙ постоянно и члены не равны нулю.

Подробнее — в теме «Сумма первых n членов геометрической прогрессии».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки